Chủ đề này có 13 trả lời

[mathsbeginner]

Không gian vector hữu hạn chiều hay vô hạn chiều đều tồn tại một hệ cơ sở.

Giả sử trong không gian vector đó xác định một tích vô hướng, khi đó ta có thể nghĩ đến vấn đề trực giao hóa hệ cơ sở của nó. Trường hợp không gian hữu hạn chiều việc trực giao hóa hệ vector là khá dễ dàng (phương pháp Schmidt). Trong trường hợp hệ cơ sở đếm được thì chắc có thể làm giống như trực giao Schmidt (MB chưa thử chứng minh chặt chẽ). Còn khi hệ cơ sở là không đếm được thì sao nhỉ? Liệu một không gian vector với tích vô hướng có số chiều không đếm được có luôn tồn tại một hệ cơ sở trực giao? Giả sử tồn tại một hệ cơ sở trực giao thì có thể trực giao hóa mọi hệ cơ sở bất kì của nó để thu được một hệ cơ sở trực giao?

Mong các bác cho ý kiến!

[Kakalotta]

Mình nghĩ rằng cái này được suy ra từ tiên đề chọn. Còn cái việc chứng minh này mình nghĩ là không khó, cũng giống hệt như là việc chứng minh một không gian véctơ có tồn tại cơ sở thôi, sử dụng nguyên lý tối đại hausdorff (house dog) vài dòng là ra.

[mathsbeginner]

hihi, "nghĩ" là dễ thôi anh Kakalotta ạ. Làm sao anh trực giao hóa được hệ vector để mà chọn? Câu hỏi còn gồm cả vấn đề có luôn tồn tại hệ cơ sở trực giao không nữa.

Ví dụ trường hợp không gian vector các hàm liên tục trên đoạn [0,1]. Hệ cơ sở của không gian này là gì? và có thể tìm được hệ cơ sở trực giao không?

Vấn đề trực giao hóa hệ cơ sở còn liên quan đến bài toán nữa. Trường hợp hữu hạn chiều trực giao hóa rồi chứng minh rất dễ. Còn vô hạn chiều thì sao? Liệu đẳng thức này có luôn đúng?

[salida]

Cho mình hỏi cái: Biến đổi Fourier có được xem như là một hệ cơ sở trực giao của không gian véctơ các hàm không nhỉ? Ý mình là hệ cơ sở có dạng
w thuộc R
cái này thì dễ thấy là hai vectơ có hệ số góc khác nhau thì vuông góc với nhau:

còn cách phân tích ra như thế nào thì mình quên mất rồi, với lại mấy cái này không rành lắm nên hỏi mọi người xem giùm

[mathsbeginner]

Hệ hàm Furier thì mình nghĩ là ổn rồi. Nhưng vẫn chưa giải quyết được vấn đề ̀

[salida]

Bài tóan đấy là bài tóan gì thế, mathsbeginner nói rõ thêm cho mình biết với được không?
Thanks nhiều :rose

[mathsbeginner]

Mình xin lỗi vì đã không nói đầy đủ. V là không gian vector có tích vô hướng. W là không gian vector con của V. là không gian chứa tất cả các vector trực giao với W (tên chính thức mình không nhớ). Khi đó nếu V là không gian hữu hạn chiều thì ta có đẳng thức , và thêm một đẳng thức nữa là . Nhưng trong trường hợp không gian vô hạn chiều thì theo ông thầy bài tập đại số của mình nói chung hai công thức trên không đúng. Ông ấy không chịu nói hết trường hợp nào có đẳng thức trên, cũng như điều kiện để trực giao hóa được hệ cơ sở (chắc tại không nhớ rõ) nên mình đem thắc mắc lên đây hỏi.

[quantum-cohomology]

Khong gian duoc trang bi tich vo huong thi` de roi con` gi`. Cu´ viec chon he truc giao la` cac´ he ham` , vi du fourier, da thuc Lagranger,.....
Truong` hop Kg Vector vo han chieu qua´ dem duoc, to khong dam´ phat bieu lung tung. Nhung trong truong hop vo han chieu co´ dem´ duoc thi` qua´ don gian. Dua ve^ ` lim hoac colim la` xong.
Qua trinh truc giao hoa Gramm-schmidt van thuc hien duoc: Vi´ du nhu nguoi` ta van dung` gramm-schmidt de tim` local trivialization cua Grassmann manifold Gn(C vo han).
Thuc ra trong truong hop khong de^m´ duoc, neu cac cau dung` tich phan truc giao hoa´ thi` nguoi` ta van goi la` gramm-schmidt. Tuy nhien trong truong` hop nay` thi` nguoi` ta phai dua the^m ham` trong. so^´ vao` nua, nhu the^´ tich phan moi´ bang` 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 19-01-2005 - 20:50

[quantum-cohomology]

Tuy nhie^n viec cm la` luo^n to^n` tai duoc 1 he^ co so truc giao xem ra cung khong han la` de dang`. cai´ nay` ca^n` phai suy nghi ca^n tha^n truoc´ khi phat´ bie^u linh tinh. hehehehe,

[mitdac]

VD lâý kg là L^2[0,1] , M=C[0,1] thì M'(tạm gọi)={0}-->M"=L^2.Bạn xem phần kg Hilbert sẽ rõ.
Còn về trực giao hóa một hệ ko đếm được các vt đltt thì mình ko biết . Nhưng nói theo cảm tính thì chắc là phải dùng tđ chọn . Hơn nữa các kg unita thường gặp đều là kg Hilbert khả li nên nó có cơ sở (theo nghĩa gth) trực giao đếm được nên vâns đề này ko được quan tâm chăng?

[Kakalotta]

Nói chung mình đã về tra cứu tài liệu và quả thật vấn đề là hoàn toàn tầm thường, cách giải nó chỉ có 4 dòng và chính xác là cách giải của mình đề xuất bằng cách dùng tiên đề chọn. Mình lấy nó trong một cuốn ebook, chắc không nổi tiếng lắm nhưng chắc là đủ. Nếu ai cần cả cuốn thì PM cho mình.

Theorem 5.11. Every Hilbert space has an orthonormal basis. Any orthonormal
basis in a separable Hilbert space is countable.

Proof. Let H be a Hilbert space, and consider the classes of orthonormal
sets in H with the partial order of inclusion. By Lemma A.1 there exists a maximal
orthonormal set K. Since K is maximal, it is complete and is therefore an
orthonormal basis.
Còn vấn đề về khi nào thì vấn đề cũng là hoàn toàn tàm thường, cách CM cũng dễ. Mấy hồm nay bận quá nên chưa post được. Mình chỉ xin trích dẫn tài liệu: cuốn không gian vectơ topo của robertson có một định lý nói rằng nếu E,F là một cặp đối ngẫu thì song polar của một tập S sẽ là bao lồi đóng yếu của S. Nói cách khác, áp dụng kết quả của lý thuyết không gian lồi địa phương cho một trường hợp rất đặc biệt là không gian Hilbert thì W sẽ phải là đóng yếu.
Còn nếu bỏ đk trực giao đi thì vấn đề trở nên tầm thường. người ta biết rằng một cơ sở hamel là luồn tồn tại.
với kg các hàm liên tục của em thì do với cơ cấu định chuẩn thì làm sao có thể là kg hilbert nên không thể có cơ sở trực giao. Còn cơ sở hamel(theo nghĩa đại số thì quá dễ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 14-02-2005 - 12:28

[hoangmanhquang]

Thấy các bác bàn tán sôi nổi quá cũng xin mạn phép nói vài câu. Theo ý tôi, mỗi hệ cơ sở trực giao đối với không gian hữu hạn chiều cũng là một hệ cơ sở(đại số). Còn trong không gian vô hạn chiều, hai khái niệm này khác nhau. Hệ cơ sở trực giao mà bác Kakalotta đề cập đến là khái niệm của Giải tích, nó không phải là hệ cơ sở theo nghĩa đại số. Tôi nhớ có một định lý nói rằng không gian Hilbert vô hạn chiều thì không có hệ cơ sở (đại số) đếm được. Không biết có đúng không nhờ .

[mitdac]

-Vấn đề (W^ )^ =W thì bác Kakalotta hoàn toàn đúng . Có điều là trong kgđc thì kg con đóng yếu =đóng --> câu trả lời là W đóng .

-Thầy H.M.Quang nói đúng . Một kg Banach vô hạn chiều ko tồn tại hệ cơ sở Hamel đếm được . Tuy nhiên nếu ko có tính đầy đủ (chính là trường hợp đang xét) thì thì hiển nhiên là vẫn có .

- Vấn đề trực giao hóa hệ ko đếm được các vt đltt thì giải như thế nào nhỉ ? Bác Kakalotta nếu đã có câu trả lời thì chịu khó post lên cho mọi người học hỏi với .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mitdac: 16-02-2005 - 09:39

[Kakalotta]

Cách chứng minh mình đã copy lên rồi còn gì nữa.
haha Quang béo lên chức thầy rồi. Đả đảo. Ở diễn đàn thì không được gọi ai là thầy nghe chưa vì lên đây là để tranh luận và học hỏi. Đã gọi là thầy thì khó tranh luận lắm.