Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG tham dự kì thi cấp TP Hà Nội


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 banhbaocua1

banhbaocua1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi tận cùng thế giới

Đã gửi 06-03-2012 - 19:51

Bài 1(6đ):
a) Cho : A= 1.2.3........2011.2012($1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}$)
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013
b) Tìm x thỏa mãn:
$\sqrt[3]{3x^{2}-x+2011}-\sqrt[3]{3x^{2}-7x+2012}-\sqrt[3]{6x-2013}=\sqrt[3]{2012}$
Bài 2 ( 3đ)
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-2z-5t=2013 & & \\ z^{2}-10zt+25t^{2}=0 & & \\ x^{2}+5y^{2}+4z^{2}-4xy-4zy=0 & & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
b)Cho xy+yz+xz=671 CM:
$\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}+\frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Bài 4(5đ):
Cho đường tròn ( O,R) . Từ điểm S ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến SM, SN tới đường tròn( M,N là hai tiếp điểm), đường thẳng d qua S cắt đường tròn (O,R) tại A và B ( M thuộc cung lớn AB). Qua A kẻ đường thẳng Ax // SM. Đường thẳng Ax cắt MN tại E, cắt MB tại C. Đường thẳng MN cắt AB tại K . Gọi I là trung điểm AB
a) CM: IS là phân giác MIN
b) CM:$\frac{SA}{SI}=\frac{SK}{SB}$
c)CM: MA,SC,BE đồng quy tại 1 điểm
Bài 5(2đ): Trong 1 cuộc hội nghị có 100 đại biểu, trong đó mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. CMR: trong hội nghị đó có ít nhất 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại.

#2 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 06-03-2012 - 20:39

Bài 1(6đ):
a) Cho : A= 1.2.3........2011.2012($1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}$)
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013
b) Tìm x thỏa mãn:
$\sqrt[3]{3x^{2}-x+2011}-\sqrt[3]{3x^{2}-7x+2012}-\sqrt[3]{6x-2013}=\sqrt[3]{2012}$

Bài 1:
a) Ta có:
\[A = 1.2...2012 + 1.3.4...2012 + 1.2.4...2012 + ... + 1.2.3...2011\]
Do đó: $A \in \mathbb{N}$.
Ta có: $2013=3.11.61$.
Trong mỗi hạng tử đều chứa các bội khác không của $3,11,61$ nên $A\vdots 2013$
b) Đặt $a,b,c$ lần lượt là 3 cái căn.
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \sqrt[3]{{2012}}\\{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2012\end{array} \right. \Rightarrow {(a + b + c)^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = 0 \Leftrightarrow - 3(a + b)(b + c)(c + a)=0\]
Từ đó dễ dàng có nghiệm.

Bài 2 ( 3đ)
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-2z-5t=2013 & & \\ z^{2}-10zt+25t^{2}=0 & & \\ x^{2}+5y^{2}+4z^{2}-4xy-4zy=0 & & \end{matrix}\right.$


\[(2) \Leftrightarrow {(z - 5t)^2} = 0 \Rightarrow z = 5t\]

\[{x^2} + 5{y^2} + 4{z^2} - 4xy - 4zy = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(y - 2z)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 2z\end{array} \right.\]
Từ đó thay vào $(1)$ dễ dàng có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 06-03-2012 - 20:41

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 06-03-2012 - 20:56

Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
b)Cho xy+yz+xz=671 CM:
$\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}+\frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

a) Bđt này rất quen thuộc. Đây chính là bđt Schwarz.
b) Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - xyz + 2013x}}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}}\]
Ta phân tích mẫu số:
\[MS = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z) = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz + zx) + 2013(x + y + z)\]
\[ = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx) = {(x + y + z)^3}\]
Từ đó suy ra:
\[VT \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}} = \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^3}}} = \frac{1}{{x + y + z}}\]

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#4 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-03-2012 - 22:09

Chém bài 5 các chú xem thử sao nhé
Giả sử A,B không quen nhau thì còn 98 người.
mà mỗi người A,B quen với 67 người khác => có ít nhất (67+67)-98 = 36 người cùng quen A,B
Trong 36 người thì mỗi người quen với 67 người vậy có ít nhất (67+36)-100 = 3 người quen lẫn nhau trong 36 người đó mà 3 người đó quen với A ( hoặc B đều đc) . Vậy có 4 người quen lẫn nhau
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-03-2012 - 22:17

Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
a)$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky
Ta có: $(x+y+z)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})\geq (a+b+c)^2$
$\iff$ Q.E.D
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 10-03-2012 - 19:02

Bài 5 giải sai rồi.Đúng phải là:
Chia 100 người thành 3 nhóm:-Nhóm 1 gồm 33 người.
-Nhóm 2 gồm 33 người .
-Nhóm 3 gồm 34 người.
Sao cho mỗi người nhóm 1 chỉ quen 67 người ở 2 nhóm còn lại.Mỗi người nhóm 2 chỉ quen 67 người trong 2 nhóm còn lai. Còn mỗi người nhóm 3 thì quen 66 người trong 2 nhóm còn lại và 1 người ở nhóm 3.
Gọi 2 người nhóm 3 là A và B sao cho A quen B. Vì A quen B=> B cũng quen A. Vì vậy ta chọn được 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại là 1 người nhóm 1,một người nhóm 2 và A,B

Hình đã gửi


#7 Quanghuy2399

Quanghuy2399

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 13-12-2013 - 23:21

Bài 1:
a) Ta có:
\[A = 1.2...2012 + 1.3.4...2012 + 1.2.4...2012 + ... + 1.2.3...2011\]
Do đó: $A \in \mathbb{N}$.
Ta có: $2013=3.11.61$.
Trong mỗi hạng tử đều chứa các bội khác không của $3,11,61$ nên $A\vdots 2013$
b) Đặt $a,b,c$ lần lượt là 3 cái căn.
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \sqrt[3]{{2012}}\\{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2012\end{array} \right. \Rightarrow {(a + b + c)^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = 0 \Leftrightarrow - 3(a + b)(b + c)(c + a)=0\]
Từ đó dễ dàng có nghiệm.



\[(2) \Leftrightarrow {(z - 5t)^2} = 0 \Rightarrow z = 5t\]

\[{x^2} + 5{y^2} + 4{z^2} - 4xy - 4zy = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(y - 2z)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 2z\end{array} \right.\]
Từ đó thay vào $(1)$ dễ dàng có nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quanghuy2399: 13-12-2013 - 23:22


#8 Quanghuy2399

Quanghuy2399

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 13-12-2013 - 23:27

a) Bđt này rất quen thuộc. Đây chính là bđt Schwarz.
b) Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - xyz + 2013x}}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}}\]
Ta phân tích mẫu số:
\[MS = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z) = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz + zx) + 2013(x + y + z)\]
\[ = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx) = {(x + y + z)^3}\]
Từ đó suy ra:
\[VT \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}} = \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^3}}} = \frac{1}{{x + y + z}}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quanghuy2399: 13-12-2013 - 23:27





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh