Chủ đề này có 1 trả lời

[Ban Biên Tập]

Đi nghỉ hè về ít lâu rồi, nay lại viết một chút cho vui. Sắp tới tôi sẽ dạy con tôi về tô pô (topology). Câu hỏi đầu tiên là tô pô là gì, để làm gì ?

Tôi nhớ, hồi học đại học, tôi theo học chuyên ngành tô pô – hình học, nhưng cũng chưa bao giờ được thầy nào đề cập đến câu hỏi “tô pô là gì”. Cứ học một đống khái niệm về tô pô, và nghiễm nhiên chấp nhận rằng tô pô là môn học về những khái niệm trừu tượng đó (đóng, mở, compact, liên thông, đồng luân, đồng điều, v.v.). Cũng là kiểu “học gạo” thôi, nhồi đi nhồi lại vào đầu lâu ngày thành quen. Nhưng có lẽ phải mất rất lâu sau mới tự hiểu ra tô pô là gì, và giá như khi còn đi học được thày giải thích ngọn nguồn cho biết tô pô là gì và vì sao lại cần học tô pô, thì có lẽ tốt hơn.

Đối với phần lớn mọi người, thì từ “tô pô” là một từ khá xa lạ. Tôi còn nhớ, có lần có một cậu bạn trẻ hơn tôi một ít hỏi tôi học gì, tôi bảo học tô pô, cậu này liền nói là “anh bịa, làm gì có môn gì gọi là tô pô”. Trong quan điểm của “người thường”, toán học chỉ gồm có số học, rồi đến đại số, hình học, giải tích, còn “tô pô” là “bịa” rồi. Ngay các sinh viên hay nghiên cứu sinh ngành toán ở VN, nếu không theo học chuyên ngành hình học thì chắc cũng ít ai biết về tô pô.

Vậy thì tô pô là gì ?

Nói một cách đơn giản, tô pô (topology) chẳng qua là giải tích định tính (qualitative analysis). Cụm từ qualitative analysis chắc dễ hình dung hơn nhiều so với từ topology, bởi vì phần lớn mọi người (nếu đã qua đại học) có biết ít nhiều về giải tích là gì.

Thế nào là định tính ? Chẳng hạn khi ta nói “cái ô tô màu xanh lá cây”, thì “xanh lá cây” ở đây là định tính. Nếu nói đó là màu #008B45 theo bảng màu RGB (red-green-blue) thì đấy cũng là một màu xanh lá cây nhưng đã được định lượng chính xác hơn so với chỉ là “xanh lá cây”. Định tính là để nói về các tính chất chung, đối ngược với định lượng là để nói về các con số cụ thể chi tiết. Khi nói cái quả táo này to, thì đấy là định tính, còn khi nói nó nặng 425gr, thì đó là định lượng. Khi nói “phương trình này có nghiệm” thì đó là định tính, còn viết cụ thể ra nghiệm thì thành định lượng. Khi nói “đây là một đa tạp compact 3 chiều” thì các từ “đa tạp”, “compact”, “3 chiều” là các khái niệm tô pô, vì chúng là định tính, còn khi viết cụ thể ra phương trình của cái đa tạp đó trong không gian R4 chẳng hạn, thì đã thành hình học có tính định lượng hơn.

Từ topology có gốc Hy Lạp. Topo có nghĩa là “chỗ, vùng, miền, …” còn “logy” có nghĩa là “nghiên cứu, tìm hiểu, …”. Từ này được nhà toán học Hausdorff đưa ra vào năm 1914. Còn trước đó, tô pô được biết đến dưới tên gọi “analysis situs” (từ “situs” cũng có nghĩa là “chỗ, vùng, …”, nhưng là gốc Latin). Vào thập kỷ cuối của thế kỷ 19, Henri Poincaré có viết một loạt bài báo nhan đề “Analysis Situs”, trong đó ông đưa ra các khái niệm nền tảng cho tô pô, như đồng luân (homotopy), đồng điều (homology), đối ngẫu Poincaré, v.v. Vì có các công cụ đại số được đưa vào để nghiên cứu tô pô bắt đầu từ thời Poincaré, nên có một chuyên ngành toán hiện đại gọi là tô pô đại số. Cụm từ “analysis situs” được Leibniz dùng từ thời thế kỷ 17 để chỉ “hình học của các tình huống” (geometry of situations), với ý tưởng là đưa ra một ngôn ngữ hình học trừu tượng chung để có thể dùng để mô tả [một cách định tính ?] nhiều tình huống khác nhau. Dần dần cụm từ đó trở thành có nghĩa là tô pô, và ngày nay thì tô pô và hình học thường được coi là đi đôi với nhau. Có một tạp chí toán quốc tế nổi tiếng mang tên “Geometry and Topology”.

Các bài toán tồn tại hay không tồn tại những thứ gì đó trong toán học (ví dụ như tồn tại nghiệm của phương trình, điểm cực đại của hàm số, điểm bất động của ánh xạ, đồng phôi giữa hai đa tạp, v.v.) nhiều khi có thể coi là những bài toán có tính tô pô, và do vậy có thể sử dụng các công cụ của tô pô để hỗ trợ trong việc giải chúng. Một trong những bài toán rất cố điển dạng như vậy, mà có thể dùng làm bài toán đố cho trẻ em, là bài “3 cái nhà 3 cái giếng”: có 3 cái nhà và 3 cái giếng trên một mảnh đất, hỏi có thể hay không xây đường từ các nhà đến các giếng sao cho không có đường nào cắt (hay bắc cầu qua) đường nào. Bài toán “7 cái cầu ở Konigsberg” của Euler cũng thường được trích dẫn như là tiền sử của tô pô.

Việc hiểu biết các khái niệm về tô pô giúp chúng ta nhìn nhận nhiều vấn đề khác (có tính chất định tính) trong toán học một cách sáng sủa hơn. Một ví dụ là định lý arbitrage (kinh doanh chênh lệch giá) của toán tài chính (gần như tương đương với định lý đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính), có thể dùng các tính chất của tập compact (là một khái niệm tô pô, và tính chất là hàm liên tục trên tập compact thì luôn có điểm cực đại) để chứng minh định lý này. (Tôi có viết cách chứng minh này trong sách toán tài chính với GS Đỗ Đức Thái). Ngày nay, các vấn đề của giải tích và hình học hiện đại hầu như luôn đụng đến các khái niệm tô pô.

Một số khái niệm cơ bản nhất của tô pô.

Một đặc điểm thường có của các tính chất định tính là khi ta thay đổi cái gì đó đi một chút ít thì tính chất của nó vẫn còn vậy. Chẳng hạn, một anh thuộc diện “nhà giàu”, nếu một hôm chẳng may mất đi 1 nghìn USD, thì anh ta vẫn còn là nhà giàu chứ không thành nhà nghèo ngay được. Trong tô pô, hiện tượng này được thể hiện bằng khái niệm lân cận (neighborhood), là một trong những khái niệm cơ bản nhất của tô pô. Nói một cách trực giác, một cái gì đó (trong ngôn ngữ hình học thì gọi là một điểm A) được gọi là nằm trong một lân cận của một điểm B nếu A “đủ gần” B sao cho A có cùng tính chất nào đó tương tự như B. Tất nhiên, mỗi điểm có thể có nhiều lân cận khác nhau, tùy theo coi thế nào là “gần”. Ví dụ, cả nước Pháp là một lân cận của tôi, vì ai ở nước Pháp cũng cùng chung tính chất “ở Pháp” với tôi. Toulouse là một lân cận khác của tôi (năm trong lân cận “Pháp”), cái dãy phố của tôi lại là lân cận nhỏ hơn nữa, còn “các nhà của người Việt ở Toulouse” sẽ là một lân cận khác nữa, v.v.

Tất nhiên, toán học cần ngôn ngữ chặt chẽ chính xác. Bởi vậy các lân cận phải thỏa mãn một hệ tiên đề nào đó của tô pô. Một tập hợp mà trong đó các lân cận của các phần tử thỏa mãn hệ tiên đề đó, thì được gọi là không gian tô pô.

Song song với khái niệm lân cận là khái niệm tập mở và tập đóng. Tiếp đến là các khái niệm: ánh xạ liên tục, tô pô cảm sinh, tô pô yếu hơn, tô pô mạnh hơn, đồng phôi, liên thông, liên thông đường, tính tách được, tính compact, tô pô của không gian metric, tương đương tô pô của các metric, metric hóa được, v.v. (Tôi sẽ không giải thích các khái niệm này ở đây — có thể tìm đọc chúng trong nhiều sách khác nhau — điều quan trọng cần nhớ là các khái niệm này đều rất tự nhiên và có ý nghĩa sâu sắc). Tôi có dạy tô pô (còn gọi là tô pô đại cương, là môn chung cho toàn bộ các SV ngành toán, và chủ yếu nhằm ứng dụng vào giải tích) cho sinh viên toán năm thứ 3 trong một số năm, và những SV nào nắm được cái khái niệm mà tôi vừa liệt kê ra thì coi như học được thành công cái môn tô pô này.

Theo http://zung.zetamu.net

[E. Galois]

Bài viết của GS Nguyễn Hữu Việt Hưng.

Bài này cố gắng trả lời câu hỏi: Các nhà Tôpô có bị hâm hay không? Bài viết sẽ kết thúc bằng khẳng định rằng Hồ Xuân Hương (1772–1822) chính là nhà Tôpô học đầu tiên của Việt Nam, người bằng trực cảm tuyệt vời đã phát biểu tường minh những ý tưởng táo bạo của tôpô từ hơn 200 năm trước.

Nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler (1707 - 1783) được coi là cha đẻ của ngành Tôpô học, vì ông là người đầu tiên nghiên cứu hai bài toán sau đây.

(1) Bài toán về 7 chiếc cầu:
Ở thành phố Koenigsberg, ngày nay được gọi là Kaliningrad thuộc Nga, có 7 chiếc cầu. Chúng nối hoặc là 2 bờ sông, hoặc một bờ sông và một trong hai cù lao, hoặc nối 2 cù lao đó.

images/stories/180px-konigsberg_bridges.png

Từ lâu, người ta đặt câu hỏi: Liệu có thể đi một lần qua tất cả 7 chiếc cầu mà không có cầu nào phải đi qua hơn 1 lần hay không? Bài toán này tương tự như trò chơi “vẽ hình bằng một nét” của trẻ em. Không có bằng chứng nào còn lại chứng tỏ rằng Euler đã tới Koenigsberg. Tuy nhiên, năm 1735 ông đã chứng minh rằng mong muốn tìm một cách đi qua 7 chiếc cầu như trên là không thể thực hiện được. Không cần để tâm nhiều lắm đến vị trí cụ thể của 7 chiếc cầu. Điều quan trọng nhất mà người đời sau học được từ bài toán này là như sau: Đây là một vấn đề của hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn của các yếu tố tham dự (dòng sông rộng hay hẹp; những chiếc cầu dài hay ngắn, to hay bé; các cù lao lớn nhỏ thế nào). Vấn đề chỉ phụ thuộc hình dáng và vị trí tương đối của các yếu tố.

(2) Bài toán về số mặt, số cạnh, và số đỉnh của một đa diện:
L. Euler đã chứng minh định lý sau đây, thoạt nhìn tưởng như trò chơi trẻ em:

Trong bất cứ đa diện lồi nào, số mặt trừ đi số cạnh cộng với số đỉnh đều bằng 2.

Hãy lấy vài ví dụ. Trong một tứ diện, số mặt $m=4$, số cạnh $c=6$, số đỉnh $d=4$; Ta có $m – c + d = 4 – 6 + 4= 2$. Trong một hình lập phương, số mặt $m=6$, số cạnh $c=12$, số đỉnh $d= 8$; Ta cũng có $m – c + d = 6 – 12 + 8 = 2$.

Vì sao lại có chuyện lúc thì lấy dấu “cộng”, lúc lại lấy dấu “trừ” trong định lý trên? Xin thưa: Mặt là một yếu tố 2 chiều, đỉnh thì 0 chiều, những yếu tố chẵn chiều thì được mang dẫu cộng; còn cạnh là một yếu tố 1 chiều, tức số chiều lẻ, nên nó mang dấu trừ.

Giống như bài toán về 7 chiếc cầu, bài toán này cũng là một vấn đề hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn các yếu tố. Thật vậy, một đa diện dù bé như hạt đậu hay to như trái đất thì số mặt, số cạnh, và số đỉnh của nó cũng không thay đổi.

Nhận xét trên gợi ý cho suy luận sau đây: Hãy tưởng tượng đa diện lồi được làm bằng cao su. Ta hãy thổi phồng đa diện lồi đó thành một quả bóng hình cầu. Các mặt, cạnh, và đỉnh của đa diện biến thành các mặt (cong), cạnh (cong), và đỉnh trên mặt cầu. Như thế, định lý trên của Euler về bản chất là một định lý về mặt cầu: Trong mọi cách phân mặt cầu thành các hình đa giác cong, số mặt trừ số cạnh cộng số đỉnh đều bằng 2. Hơn nữa, mọi hình thu được từ mặt cầu bằng một phép biến đổi liên tục (tương tự như co dãn màng cao su) đều nghiệm đúng định lý này.

Trong tôpô hiện đại, định lý Euler được tổng quát hoá như sau: Nếu chia bất cứ một vật thể n chiều nào thành các phần “giống như đa diện”, thì tổng số các phần với chiều chẵn trừ đi tổng số các phần với chiều lẻ luôn là một hằng số, được gọi là đặc số Euler, của vật thể đó. Như thế, mỗi vật thể đều là sự tổng hoà nhịp nhàng của hai phần âm dương, chẵn lẻ nội tại của nó, không thể thay đổi. Hệ quả là, nếu hai vật thể có đặc số Euler khác nhau, thì chúng không thể cái này biến thành cái kia sau một phép biến đổi thuận nghịch liên tục (kiểu như co dãn cao su). Người ta nói hai vật thể đó không cùng kiểu tôpô. Bên cạnh mặt cầu đã nói ở trên, hãy lấy mặt xuyến (cái săm ôtô) làm ví dụ. Có thể phân chia cái săm bằng 2 đường ($c=2$), một đường cắt theo vết măng-xông, đường kia cắt dọc toàn bộ chiều dài xăm. Hai đường này cắt nhau tại một điểm duy nhất ($d=1$). Bị cắt hai đường đó, săm trở thành một mặt hình chữ nhật ($m=1$). Vậy đặc số Euler của mặt xuyến (săm) là $m – c + d = 1 – 2 + 1 = 0$. Như thế, mặt xuyến và mặt cầu không cùng kiểu tôpô, vì chúng có đặc số Euler khác nhau (tương ứng bằng 0 và 2). Về mặt trực giác, vì sao chúng không cùng kiểu tôpô? Lý do thật đơn giản: Mặt cầu không có lỗ nào, còn mặt xuyến có lỗ (là cái chỗ người ta vẫn chui vào để biến săm thành vật cứu sinh). Các nhà tôpô bảo mặt xuyến có 1 lỗ, nên có giống (genus) bằng 1, mặt cầu không có lỗ nào, nên có giống bằng 0. À ra thế, phải có lỗ thì giống mới không bị triệt tiêu. Các nhà tôpô thật giỏi ỡm ờ.

Riemann còn chứng minh một định lý thật thâm thuý: Mọi mặt 2 chiều trơn (tức mịn màng), bị chặn (có thể giữ trong một căn phòng), và có hướng (tức là phân biệt được phía nào là ngoài da, phía nào là trong thịt) đều xác định được về mặt tôpô chỉ bằng cách đếm số lỗ trên nó. Chà chà, phải mời Picasso đến đây mới được.

Hai bài toán nói trên là những vấn đề hình học trong đó kích cỡ không quan trọng, chỉ có hình dáng và vị trí tương đối đóng vai trò quyết định. Ngành toán học nghiên cứu những vấn đề như vậy ngày nay được gọi là Tôpô học (Topology). Ngẫm cho kỹ thì chuyện kích cỡ không quan trọng đã được tạo hoá duy trì như một trong những nguyên lý hàng đầu, đóng vai trò “đảm bảo an ninh” không chỉ cho xã hội loài người, mà cho toàn bộ các giống loài trong tự nhiên. Nếu một người mua nhầm đôi giầy, chật quá hay rộng quá, tức là người ấy gặp một vấn đề về kích cỡ, thì anh ta đem đổi. Thế nhưng, nếu người ấy lấy vợ, và nếu như anh ta cũng gặp một vấn đề về kích cỡ, rồi đòi đổi, thì nguy hiểm vô cùng. Và nếu rất nhiều người sau khi lấy vợ cùng gặp vấn đề về kích cỡ như thế, đều cần phải đổi, thì xã hội chắc chắn sinh loạn.

Bà chúa thơ nôm Hồ Xuân Hương, không nghiên cứu 7 cái cầu hay số mặt số cạnh trong đa diện, nhưng bằng một tiếp cận đầy trực cảm, đã nhận ra chuyện này từ xưa. Bà viết thật nhân văn:

“Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả

Ngắn dài khuôn khổ cũng như nhau”.

Như thế, Hồ Xuân Hương chính là nhà tôpô học đầu tiên của Việt Nam. Gần như đồng thời và độc lập với L. Euler, bà đã phát biểu tường minh quan điểm cơ bản của tôpô học. Nữ sĩ họ Hồ quả là đã khởi đầu đầy sinh khí cho đám hậu sinh làm tôpô của Việt Nam, trong đó có kẻ học trò viết bài này:

“Mát mặt anh hùng khi tắt gió

Che đầu quân tử lúc sa mưa”.

Theo được Hồ nữ sĩ quả là khó. May sao, "mỏi gối chồn chân vẫn muốn trèo". Vậy mà lại bảo các nhà Tôpô là hâm thì nghe thế nào được, hở giời.