Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 ĐHSP TP.HCM lần 1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-03-2012 - 00:20

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012

Môn thi: Đại số

Ngày thi: 04/03/2012

Lần 1

--------



Bài 1. Cho $X,B_{0}\in M_{n}\left ( R \right ).$.Ta định nghĩa dãy ma trận bằng quy nạp: $B_{k}=B_{k-1}X-XB_{k-1},k\in N^{*}$. Chứng minh rằng nếu $X=B_{n^{2}}$ thì $X=0$.

Bài 2. Cho $a \in (-1,1)$ và ma trận $A\in M_{n}®$ thỏa $det(A^{4}-aA^{3}-aA+I)=0$
a. Với $n=2$ tìm $detA$.
b. Tìm điều kiện của $n$ để tồn tại ma trận $A$, khi đó tính $detA$.

Bài 3. Cho $A=\begin{bmatrix}
1 & \frac{2012}{n}\\
\frac{-2012}{n}& 1
\end{bmatrix}$. Tìm $lim\frac{1}{2012}(A^{n}-I), n\rightarrow +\infty $

Bài 4. Cho $A,B,X\in M_{n}\,®,n\geq 2$ thỏa $AB=A+B, rank(X)=1, rank(A)\leq n-2$. Chứng minh rằng ma trận $B+X$ suy biến.

Bài 5. Với mỗi $n\in N^{*}$, tìm một ma trận $X$ thỏa $X^{n}=\begin{bmatrix}
4 &3 &2012 \\
0 &4 &3 \\
0 &0 &4
\end{bmatrix}$.

Bài 6. Một cuộc thi game online có 2013 game thủ phải chơi 2013 game. Mỗi game cả 2013 người cùng chơi, mỗi người chỉ thắng hoặc thua. Ta thành lập ma trận A,B vuông cấp 2013 như sau: Ba đầu gán $A=B=0$, với mỗi game nếu game thủ thứ i,j cùng thắng hoặc cùng thua thì tăng $)A_{ij})$ lên 1 đơn vị. Nếu game thủ i thắng j thua thì tăng $(B_{ij})$ lên 1 đơn vị và giảm $(B_{ji})$ đi 1 đơn vị. Chứng minh rằng sau khi cuộc chơi kết thúc thì $det(A+iB)$ là số nguyên không âm và chi hết cho $2^{2012}$

#2 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-03-2012 - 17:32

Bài 5 :X mũ n phân tích thành 4E + B hay 4( E + 1B/4) về mặt hình thức thì ta có thể rút căn bậc n 2 vế rồi suy ra X , sao đó xét hàm số f(x) = ( 1+ x/4) mũ 1/n có khai triển maclaurent ( x=0) sao đó thay x bằng MT B do MT B này rất đặc biệt B mũ i thì = o với i lớn hơn hay bằng 3. sao đó thay khai triển maclaurent vào thì tìm được kết quả ! ^^

#3 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-03-2012 - 17:34

Bài 3: chế từ đề thi năm 1994 bài này đặt tan = 2012/n với tan = sin/cos .....sao đó rút 1/cos ra ngoài thì sẽ đưa về dạng lượng giác rồi dùng tính A mũ n theo quy nạp ^^~. hỳ :ukliam2:

#4 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-03-2012 - 17:44

ai có đề chọn đội tuyển các trường thì LH địa chỉ gmail mình giao lưu nhaz gmail: [email protected] :D

#5 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 17-03-2012 - 17:21

Bài 2: Giả sử $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$, khi đó $\lambda^{4}-a\lambda^{3}-a\lambda$ là giá trị riêng của ma trận $A^{4}-aA^{3}-aA$. Mặt khác, theo giả thiết, $-1$ là giá trị riêng của $A^{4}-aA^{3}-aA$ nên
-Với $a=1$ thì $\lambda^{4}-\lambda^{3}-\lambda=-1$ <=> $\lambda=1$, $A$ chỉ có giá trị riêng là 1 nên đa thức đặc trưng của nó là $P(\lambda)=|A-\lambda I|=(1-\lambda)^{n}$ => $P(0)=|A|=1$.
-Với $a=-1$, tương tự $P(0)=|A|=(-1)^{n}$.
Như vậy thì $|A|=1$ với $n=2$. Còn câu b thì mình không hiểu có gì mà phải tìm $n$, mọi người cho ý kiến cái???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dexter: 17-03-2012 - 17:28


#6 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-03-2012 - 00:55

đáp án câu 5 $X=\begin{bmatrix} \sqrt[n]{4} & \frac{3}{4n} \sqrt[n]{4}&(\frac{2012}{4n}+\frac{9(n-1)}{32n^{2}}) \\ 0& \sqrt[n]{4} &\frac{3}{4n}{\sqrt[n]{4}} \\ 0&0 & \sqrt[n]{4}\end{bmatrix}$ xong rùi đó anh hữu đánh xong đáp án này mún mờ mắt lun hic hic :icon10: :ukliam2:

#7 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 20-03-2012 - 10:54

bạn kiểm tra lại giùm, hình như phần tử $x_{13}$ không đúng

#8 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 20-03-2012 - 10:56

à không, đúng rồi đó :icon6:

#9 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-03-2012 - 21:41

sai ! phần tử A13 phải nhân thêm căn bậc n của 4 nữa thì mới đúng :D

#10 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 21-03-2012 - 20:39

ừ, lần này thì không thể sai được nữa. Câu 1 như thế nào nhỉ, nghĩ không ra?

#11 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-03-2012 - 00:25

tui cũng thua !!

#12 phamtan11

phamtan11

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 02-04-2012 - 19:05

mình làm câu 4 mọi người tham khảo nhé !
từ AB=A+B -> ( A- I )( B- I )= I -> rank( A- I )= n
mặt khác : từ AB=A+B -> (A-I)B=A ->rank(A)=rank( (A-I)B )=rank(B) =< n-2
vậy rank(B+X) =< rank(B) +rank(X) =< n-1
suy ra (B+X) là ma trạn suy biến (dpcm)
n2




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh