Chủ đề này có 16 trả lời

[nthoangcute]

Hôm nay, mình tình cờ xem lại các bài BĐT trong diễn đàn từ năm 2006, mình thấy các bài này cũng hay, mình up lên cho các bạn cùng giải:
_____________________________________________________
Bài 1. (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c >0, abc=1$
CMR: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}.(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$
Bài 2. (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c \geq 0$ sao cho:
$a+b \leq c+1$
$b+c \leq a+1$
$c+a \leq b+1$
Chứng minh: $A^2+b^2+c^2 \leq 2abc+1$
Bài 3. (NPKhánh-20-11-2006)
Gọi x,y,z theo thứ tự là khoảng cách từ trực tâm của tam giác ABC đến cạnh BC,CA, AB của tam giác .
$CMR:\dfrac{bx}{c}+\dfrac{cy}{a}+\dfrac{az}{b}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R} $
Bài 4. (ngtl-28-05-2007)
Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$
ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$
Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.
Bài 5. (boylovemath-10-07-2007)
Cho n là số nguyên dương :
CMR
a/$ \dfrac{n}{ 1,1^{n} }$ maximum khi n=10 hoặc n=11
b/$ \dfrac{ n^{2} }{ 1,1^{n} }$ maximum khi n=21
Bài 6. (caothujjj-02-08-2007)
Cho a,b,c là các số thực dương dương . Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{(b^2+c^2)} \geq \sum \dfrac{4}{5(a+b)}$
Bài 7. (number_zero-12-08-2007)
cho $a+x=b+y=c+z=k$
CMR: ${ ay+bz+cx} \leq k^{2} $
Bài 8. (hoang tuan anh -17-08-2007)
cho $xyz=1$ , CMR
$\sum \dfrac{x}{z^3(x+11z)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x)$
Bài 9. (hoang tuan anh -17-08-2007)
cho $xyz=1$ . CMR
$\sum \dfrac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))} +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z)$
Bài 10. (hoang tuan anh -17-08-2007)
cho $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$
CMR $\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$
Bài 11. (ga học toán -20-08-2007)
Tìm m để GTLN của y=$\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất trong số các GTLN tìm được khi cho m chạy
Bài 12. (chien than -03-11-2007)
$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR :
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$
Bài 13. (thanhbinh214 -07-11-2007)
Cho dãy {$x_{n} $}được xác định như sau:
$x_{1} \geq \dfrac{3}{4}; x_{n+1}^{4}+3 =4x_{n}$
.CMR
$2x_{n+5}^{4}+3 \leq x_{n-5}^{4} +4 \sqrt[4]{4x_{n-5}-3} $
Bài 14. (chien than -22-09-2007)
cho$ x;y \in R;x>0$ thỏa mãn $y(y+1) \leq (x+1)^2$
CMR $y(y-1) \leq x^2$
Bài 15. (1111111 -12-11-2007)
Cho A,B,C là 3 góc nhọn của 1 tam giác. $CMR: (3+cosA)(3+cosB)(3+cosC)>32$
Bài 16. (hoang tuan anh -06-01-2008)
Tìm min của
$y=\dfrac{2|x|}{x^2+2}+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|+|\dfrac{x}{x^2+2}-2|+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|$
Bài 17. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x^{2}.( x^{2} +2 y^{2}-3)+( y^{2} -2) ^{2} =1$ tim min, max : $A= x^{2} + y^{2} $
Bài 18. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $P= x^{2} +2xy+7(x+y)+2 y^{2} +10=0$
Tìm min, max $A= x+y+1 $
Bài 19. (tranquocluat_ht -06-04-2008)
Cho $a,b,c>0$ CMR:

Bài 20. (Sk8ter-boi 29-05-2008)
chứng minh rằng trong 5 số thực bất kỳ khác nhau thì tồn tại 2 số thỏa mãn BĐT
$|ab+1| > |a-b|$
________________________________________________________________________________
Part 2 còn tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-03-2012 - 20:14

[Ispectorgadget]

Cho mình hỏi giải bài trực tiếp vào đây luôn hay là sao?

[nthoangcute]

Sau đây là part 2:
_______________________________________________________
Bài 21. (thihoa_94 -23-08-2008)
cho bốn số a,b,c,d không âm thỏa mãn a+b+c+d=1
tìm GTLN của
Bài 22. (anh qua -25-12-2008)
Cho x,y thỏa mãn :$x^2=a, y^2=b$
Biết:$(a-b+1)^2 +4ab-a-b=0$
Tìm min, max của $a+b$
Bài 23. (alextb -04-11-2008)
Cho $a,b,c > 0 $ và $a+b+c = 1$ ,tìm min của:
$P= ab + 2bc + 2ca $
Bài 24. (nguyen_ct -13-11-2008)
Cho $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số dương
Tìm GTNN của biết $x+y+z=3$
Bài 25. (nguyen_ct -13-11-2008)
Cho $a,b,c$ là các số dương
CM (nếu sai thì có lẽ đề phải là )
Bài 26. (sieuthamtu_sieudaochit -02-05-2009)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\ge 3$
Tìm GTNN $P=\dfrac{a}{1+a+bc}+\dfrac{b}{1+b+ca}+\dfrac{c}{1+c+ab}$
Bài 27. (cvp -21-06-2009)
Cho x,y,z, a,b,c là các số thực dương bất kì với x+y+z=1.Chứng minh rằng:
$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$
Bài 28. (frazier -30-06-2009)
Chứng minh rằng, nếu các số dương x, y thỏa mãn các bất đẳng thức $x + y > 2$ và $x^2 + y^2 < 4$ thì $xy > 1$
Bài 29. (frazier -30-06-2009)
Tìm GTNN của biểu thức:
$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{a^2 + b^2}{ab} $
Bài 30. (nguyenminhtrai -08-07-2009)
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $abc=1$
Tìm MAX của
Bài 31. (pth_tdn -19-07-2009)
Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$
Bài 32. (ncc_3tc -30-08-2009)
Tìm min:
$ \dfrac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{x}} + \dfrac{2a_{2}}{a_{1}+a_{3}+...a_{x}} +...+ \dfrac{xa_{x}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{x-1}}$
Với $ a_{1}, a_{2},...,a_{x}$ là các số thực dương
Bài 33. (shinichiconan1601 -02-09-2009)
Cho $a;b;c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a.b.c+6.a+3.b+2.c=24$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=$a.b.c.(a^2+3).(b^2+12).(c^2+27)$
Bài 34. (Đỗ Quang Duy -03-10-2009)
Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Bài 35. (Linhli -29-10-2009)
$ a_1 ^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_3^2+....+ a_8^2 + 4/9 = a_1a_2+a_2a_3+...+ a_7a_8 + a_8 $
Tìm $ a_1,...a_8 $
Thực ra đây là một bài giải phương trình nhưng mình nghĩ nó có liên quan đến bất đẳng thức và cực trị nên đưa nó vào cho mọi người thử giải
Bài 36. (abstract -20-12-2009)
Cho a,b>0 và $2 a^{2} + b^{2} =1$. Cmr:
$(7+x)a+(5+x)b \geq (9+x)ab+(3+x)$ với $x=3 \sqrt{3}$
Bài 37. (abstract -02-02-2010)
1)Cho 2 bộ n số thực
$ a_{i}$ với $i=1..n$
$b_{i}$ với $i=1..n$
$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} ^{2}= \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} ^{2}=1$
$ \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=0$
CMR $( \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i})^{2} +( \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i})^{2} \leq n$
Bài 38. (abstract -02-02-2010)
Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $
Bài 39. (1414141 -22-02-2010)
$a,b,c$ dương và $n$ nguyên dương . Chứng minh
$\dfrac{ab^n}{c^n(a+c)}+\dfrac{bc^n}{a^n(a+b)} + \dfrac{ca^n}{b^n(c+b)} \ge \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} $
Bài 40. (Chung Chung -10-10-2011)
Tìm min của $x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$
Bài toán chỉ được sử dụng một BĐT duy nhất đó là BCS.
_________________________________________________________
Mình nghĩ là sẽ còn part 3 nếu như các bạn tiếp tục ủng hộ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-03-2012 - 11:46

[minhtuyb]

24. (nguyen_ct -13-11-2008)
Cho $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số dương
Tìm GTNN của biết $x+y+z=3$
25. (nguyen_ct -13-11-2008)
Cho $a,b,c$ là các số dương
CM

25. Với $a=b=c=0,5$, BĐT sai
Chắc là ntnày: $\sum \frac{a^2b}{c}\geq \sum a^2$
24. Đặt $P=\sum \frac{ax}{b+c}\geq P+\sum x=\sum (\frac{ax}{b+c}+x)$
$\Rightarrow P+3=\sum \frac{(a+b+c)x}{b+c}=(a+b+c)\sum \frac{x}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 08-03-2012 - 14:32

[nthoangcute]

25. Với $a=b=c=0,5$, BĐT sai
Chắc là ntnày: $\sum \frac{a^2b}{c}\geq \sum a^2$
24. Đặt $P=\sum \frac{ax}{b+c}\geq P+\sum x=\sum (\frac{ax}{b+c}+x)$
$\Rightarrow P+3=\sum \frac{(a+b+c)x}{b+c}=(a+b+c)\sum \frac{x}{b+c}$

25. Link của bài viết ở đây http://diendantoanho...ic=41848<br />Trong bài viết thì lại ghi như này:
$a^2.b/c^2 +b^2.c/a +c^2.a/b$ $a+b+c$
Cái này mình nghĩ là $\sum \frac{a^2b}{c}\geq \sum a$ nên mới post, hoặc có lẽ phải như thế này:
$\sum \frac{a^2b}{c^2}\geq \sum a$

[sherlock holmes 1997]

1/ BĐT cần cm $\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$
$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}+2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$
$\Leftrightarrow a+b+c+a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)}+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$\Leftrightarrow a+b+c+ab(a-b)^{2}+bc(b-c)^{2}+ca(c-a)^{2}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+(a+b+c)ab(a-b)^{2}+(a+b+c)bc(b-c)^{2}+(a+b+c)ca(c-a)^{2}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{c}(a-b)^{2}+\frac{a+b+c}{a}(b-c)^{2}+\frac{a+b+c}{b}(c-a)^{2}-(a-b)^{2}-(b-c)^{2}-(c-a)^{2}\geq 0$(do abc=1)
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{c}(a-b)^{2}+\frac{b+c}{a}(b-c)^{2}+\frac{a+c}{b}(c-a)^{2}\geq 0$(đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[nthoangcute]

Bài 29:
Ta có: $\frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{a^2+b^2}{ab}$
$=\frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{3(a^2+b^2)}{4ab}$
$\geq 2 \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2} . \frac{a^2+b^2}{4ab}} + \frac{6ab}{4ab}$
$=1+\frac{3}{2}$
$=\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

MOD: Trích dẫn bài viết vào luôn cho dễ quan sát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-03-2012 - 13:25

[nthoangcute]

Bài 22. (anh qua -25-12-2008)
Cho x,y thỏa mãn :$x^2=a, y^2=b$
Biết:$(a-b+1)^2 +4ab-a-b=0$
Tìm min, max của $a+b$

Mình đành làm luôn vào Topic vậy, có 2 nguyên nhân.
____________________________________
Bài 22:
Từ giả thiết thì $a, b$ là các số dương.
Khi đó vì $(a-b+1)^2 +4ab-a-b=0$ nên $a^2+2ab+b^2+a-3b+1=0$
Suy ra $(a+b)^2-3(a+b)+1=-3a \leq 0$
Hay $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \leq a+b \leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Từ đó ta tìm được Min và Max

[nthoangcute]

Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Mình làm được bài này:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Đặt $a=x^3,b=y^3,c=z^3$ ($x,y,z>0$)
BĐT tương đương với:
${x}^{6}{z}^{3}+{y}^{6}{x}^{3}+{z}^{6}{y}^{3}-{x}^{5}{y}^{2}{z}^{2}-{x}
^{2}{y}^{5}{z}^{2}-{x}^{2}{y}^{2}{z}^{5} \geq 0$
Thật vậy, ta có:
$x^3 y^6+x^6 z^3+x^6 z^3 \geq 3x^5y^2z^2$ (BĐT Cô si)
CMTT ta có ĐPCM
____________________________________________________
Các bạn gắng làm hết nhé

[nthoangcute]

Bài 18. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $P= x^{2} +2xy+7(x+y)+2 y^{2} +10=0$
Tìm min, max $A= x+y+1 $

Mình làm bài này vậy, topic đã đi vào quên lãng!
_______________________________________________________________________________________
Ta có : $P= x^{2} +2xy+7(x+y)+2 y^{2} +10=0$
nên $(x+y)^2+7(x+y)+10=-y^2 \leq 0$
Hay $(x+y+5)(x+y+2) \leq 0$
Suy ra $-5 \leq x+y \leq -2$
Hay $-4 \leq x+y+1 \leq -1$
Vậy từ đó ta tìm được Min, max của $x+y+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 25-03-2012 - 16:41

[nguyenta98]

Bài 21. (thihoa_94 -23-08-2008)
cho bốn số a,b,c,d không âm thỏa mãn a+b+c+d=1
tìm GTLN của

Giải như sau:
WLOG, giả sử $a\geq b\geq c\geq d$ khi đó
$$|a-b|+|a-c|+|a-d|+|b-d|+|b-c|+|c-d|=a-b+a-c+a-d+b-d+b-c+c-d$$
$$=3a+b-c-3d=2a+(a+b+c+d)-2c-4d=1+2a-2c-4d\le 1+2-0=3$$
(do $a\le 1$, $2c+4d\geq 0$)
Vậy GTLN của $|a-b|+|a-c|+|a-d|+|b-d|+|b-c|+|c-d|=3$ khi $(a,b,c,d)=(1,0,0,0)$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 26-03-2012 - 13:01

[phantomladyvskaitokid]

Bài 40. (Chung Chung -10-10-2011)
Tìm min của $x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$
Bài toán chỉ được sử dụng một BĐT duy nhất đó là BCS.

chỉ dùng Cauchy ở mỗi bước cuối cũng k đc à?

[phantomladyvskaitokid]

Bài 3. (NPKhánh-20-11-2006)
Gọi x,y,z theo thứ tự là khoảng cách từ trực tâm của tam giác ABC đến cạnh BC,CA, AB của tam giác .
$CMR:\dfrac{bx}{c}+\dfrac{cy}{a}+\dfrac{az}{b}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R} $

ngộ nhỉ

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})> \frac{bx}{c}+\frac{cy}{a}+\frac{az}{b}$

[Ispectorgadget]

ngộ nhỉ

$\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})> \frac{bx}{c}+\frac{cy}{a}+\frac{az}{b}$

Ngộ thật
Chỗ này ở đâu vậy $\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})$

[phantomladyvskaitokid]

Ngộ thật
Chỗ này ở đâu vậy $\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}=(b^2+c^2+a^2)(\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab})$

$\frac{x}{bc}+\frac{y}{ca}+\frac{z}{ab}=\frac{xa+yb+zc}{abc}=\frac{2S_{ABC}}{abc}= \frac{1}{2R}$

[phantomladyvskaitokid]

Phải chú ý tới dấu bằng nữa (nếu rảnh tối làm bài này)

$x+\frac{11}{2x}+\sqrt{4(\frac{7}{x^2}+1)}=\frac{(\sqrt{x^2+7}+2)^2+x^2}{2x}\geq \frac{(\frac{3x+7}{4}+2)^2+x^2}{2x}=\frac{(3x+15)^2+16x^2}{32x}=\frac{25x^2+225+90x}{32x}\geq \frac{15}{2}$


Dấu "=" xảy ra khi x=3, chú ý gì ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 27-03-2012 - 20:50

[Ispectorgadget]

$x+\frac{11}{2x}+\sqrt{4(\frac{7}{x^2}+1)}=\frac{(\sqrt{x^2+7}+2)^2+x^2}{2x}\geq \frac{(\frac{3x+7}{4}+2)^2+x^2}{2x}=\frac{(3x+15)^2+16x^2}{32x}=\frac{25x^2+225+90x}{32x}\geq \frac{15}{2}$


Dấu "=" xảy ra khi x=3, chú ý gì ạ?

:-j Híc lẩm cẩm rồi =))
Đây là cách sử dụng BĐT B.C.S
$$(3+\frac{7}{x})^2=(3.1+\sqrt{7}.\frac{\sqrt{7}}{x})^2\leq (9+1)(1+\frac{7}{x^2})=16(1+\frac{7}{x^2})$$
$$\Rightarrow \sqrt{4.(1+\frac{7}{x^2})}\geq \frac{1}{2}(3+\frac{7}{x})$$
$$\Rightarrow VT\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2}(3+\frac{7}{x})=\frac{3}{2}+x+\frac{9}{x}\geq \frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}$$
Đẳng thức xảy ra $\iff x=3 \blacksquare$