Chủ đề này có 2 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho tam giác ABC có goc s A nhọn và AB<AC, về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam gjac ABD và ACE vuông cân tại A. Gọi I là giao điểm của BE với CD, M và N thứ tự là trung điểm của BC và DE, Chứng minh AI//MN

[Mylovemath]

Gọi P là trung điểm DB và Q là trung điểm CE

Theo cách gọi trên dễ thấy PM, PN, QN, QM lần lượt là các đường trung bình của $\Delta DBC$, $\Delta DBE$, $\Delta DEC$, $\Delta EBC$

Nên từ đó ta có

$=> PN // MQ // BE$ và $PM // NQ // DC$

Dễ dàng chứng minh $\Delta DAC = \Delta BAE$ $(c.g.c)$

Từ 2 tam giác bằng nhau trên dễ chứng minh được
Tứ giác DAIB nội tiếp đường tròn đường kính DB và Tứ giác AICE nội tiếp đường tròn đường kính CE

và từ đó chứng minh được DC BE tại I

Từ tất cả những điều trên c/m được PNQM là hình vuông
nên suy ra MN là phân giác góc $\widehat{PMQ}$ $(1)$

Xét trong tứ giác nội tiếp DAIB ta có

$\widehat{DIA} = \widehat{DBA} = 45$ (dựa vào tam giác vuông cân_gt)

Tương tự tứ giác nội tiếp AICE

$\widehat{EIA} = \widehat{ECA} = 45$ (dựa vào tam giác vuông cân_gt)

Từ đó ta suy ra

$\widehat{EIA} = \widehat{DIA} =45$

Suy ra AI là phân giác của $\widehat{DIE}$ $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AI // MN$ $(đpcm)$

Cách giải này dài quá mình giải tắt chút chỗ nào khó hiểu hỏi lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 09-03-2012 - 21:42

[Jasper3601]

Bổ sung thêm một cách làm:
(có sử dụng một số kết quả chứng minh của bạn Mylovemath)


1) Dựng hình bình hành ADKE.
N là trung điểm DE
=> K, N, A thẳng hàng và N là trung điểm của KA.

2) $\angle KEA + \angle EAD = 180^{\circ}$
$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$
=> $\angle BAC = \angle KEA$

3) Có EK = AD = AB
EA = AC

4) Từ (2) và (3) suy ra tam giác ABC = tam giác EKA =>
$\left\{\begin{matrix} KA = BC\\ \angle ACB = \angle EAK \end{matrix}\right.$

5) Chứng minh được AN = 1/2 KA = 1/2 BC = IM (do tam giác BIC vuông tại I)

6) Tứ giác AICE nội tiếp => $\angle ACI = \angle AEI$
$\angle IAC = \angle IEC$
và $\angle AEI + \angle IEC = 45^{\circ}$

7) Có $\angle KAE + \angle IAC = \angle BCA + \angle IEC = \angle BCA + 45^{\circ} - \angle IEA = \angle BCA - \angle ICA + 45^{\circ} = \angle BCI + 45^{\circ}$

8) Mà $\angle BCI = \angle MIC$ => $\angle KAE + \angle IAC = \angle MIC + 45^{\circ} = \angle MIC + \angle AIE (do \angle AIE = 45^{\circ})$

9) Vậy góc NAI = MIA
(5) => NAIM là hình thang cân => AI song song với MN (đpcm)

File gửi kèm

•  DDTH 1.htm   4.28K   80 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jasper3601: 10-03-2012 - 01:28