Chủ đề này có 3 trả lời

[MathamaticsSoul]

Cho x,y >0 , x+y=1
Tìm min của $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

[Ispectorgadget]

Áp dung BĐT AM-GM ta có : $x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow (x+y)^4\geq 16xy\Rightarrow \dfrac{(x+y)^4}{16}\geq xy$

$x^2y^2+2+\dfrac{1}{x^2y^2}=(\dfrac{1}{256x^2y^2}+x^2y^2)+\dfrac{255}{256x^2y^2}+2\geq 2.\dfrac{1}{16}+\dfrac{255}{256:16}+2=\dfrac{289}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

[mathsvn]

PT đã cho tương đương với:
$x^{2}y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}y^{2}}$ (1)
(1) <=> $256x^{2}y^{2} + \frac{1}{x^{2}y^{2}} + 2 - 255x^{2}y^{2}$
AD BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
$256x^{2}y^{2} + \frac{1}{x^{2}y^{2}} \geq 32$
$1= x+y\geq 2\sqrt{xy} => x^{2}y^{2}\leqslant \frac{1}{16} => -255x^{2}y^{2}\geqslant \frac{255}{16}$
=> (1) $\geq$$32+2-\frac{255}{16}$.

[MathamaticsSoul]

Cái chỗ $(x+y)^{4}$ phải $\geq$ $16x^{2}y^{2}$ . Mũ 4 cơ mà

Híc bắt bẻ hoài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-03-2012 - 21:55