Đến nội dung

Hình ảnh

$$u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}=6$$

- - - - - Tặng VMF ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài toán: Cho dãy $\{u_{n} \}$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_0=a \ge 0 \\ u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}=6.\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$$
Tồn tại hay không giá trị của $a$ sao cho dãy $\{u_{n} \}$ có giới hạn hữu hạn ?
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
Gọi\[s = \frac{{\sqrt[3]{{27 + \sqrt {753} }}}}{{{3^{2/3}}}} - \frac{2}{{\sqrt[3]{{3\left( {27 + \sqrt {753} } \right)}}}} \approx {\rm{1}}.{\rm{4561642461359}}0{\rm{846}}0{\rm{9748}}0{\rm{69666}}0{\rm{39397}}0{\rm{6951}}\]là nghiệm duy nhất của phương trình $s^3+2s-6=0$

Công thức truy hồi \[{u_{n + 1}} = \frac{6}{{u_n^2 + 2}} = \frac{6}{{{{\left( {\frac{6}{{u_{n - 1}^2 + 2}}} \right)}^2} + 2}} = \frac{{3{{\left( {u_{n - 1}^2 + 2} \right)}^2}}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Ta chia dãy ban đầu thành 2 dãy chẵn lẻ
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_{n - 1}} = - \frac{{\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\left( {{u_{n - 1}} - 2} \right)\left( {u_{n - 1}^3 + 2{u_{n - 1}} - 6} \right)}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Nhận xét: $a$ âm hay dương không ảnh hưởng đến tính chất của dãy số (vì sao - bạn thử lí giải nhé). Vậy giả sử luôn $a \ge 0$
Đến đây ta biện luận tất cả các giá trị có thể có của $a$:
Với $a \le 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy tăng có $lim=1$ và dãy giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s > a > 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=1$ và dãy không giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a \ge 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=2$ và dãy không giảm có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s < a <2$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không giảm có $lim=2$ và dãy không tăng có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a=s$, dãy $(u_n)$ là dãy hằng và hiển nhiên có giới hạn.

Vậy các giá trị $a$ thỏa yêu cầu đề bài là $a= \pm s$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng VMF ^_^

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh