Bài toán: Cho dãy $\{u_{n} \}$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_0=a \ge 0 \\ u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}=6.\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$$
Tồn tại hay không giá trị của $a$ sao cho dãy $\{u_{n} \}$ có giới hạn hữu hạn ?
#1
Đã gửi 09-03-2012 - 21:52
- namcpnh, go out, Trần Đức Anh @@ và 1 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 09-03-2012 - 23:14
Gọi\[s = \frac{{\sqrt[3]{{27 + \sqrt {753} }}}}{{{3^{2/3}}}} - \frac{2}{{\sqrt[3]{{3\left( {27 + \sqrt {753} } \right)}}}} \approx {\rm{1}}.{\rm{4561642461359}}0{\rm{846}}0{\rm{9748}}0{\rm{69666}}0{\rm{39397}}0{\rm{6951}}\]là nghiệm duy nhất của phương trình $s^3+2s-6=0$
Công thức truy hồi \[{u_{n + 1}} = \frac{6}{{u_n^2 + 2}} = \frac{6}{{{{\left( {\frac{6}{{u_{n - 1}^2 + 2}}} \right)}^2} + 2}} = \frac{{3{{\left( {u_{n - 1}^2 + 2} \right)}^2}}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Ta chia dãy ban đầu thành 2 dãy chẵn lẻ
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_{n - 1}} = - \frac{{\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\left( {{u_{n - 1}} - 2} \right)\left( {u_{n - 1}^3 + 2{u_{n - 1}} - 6} \right)}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Nhận xét: $a$ âm hay dương không ảnh hưởng đến tính chất của dãy số (vì sao - bạn thử lí giải nhé). Vậy giả sử luôn $a \ge 0$
Đến đây ta biện luận tất cả các giá trị có thể có của $a$:
Với $a \le 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy tăng có $lim=1$ và dãy giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s > a > 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=1$ và dãy không giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a \ge 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=2$ và dãy không giảm có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s < a <2$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không giảm có $lim=2$ và dãy không tăng có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a=s$, dãy $(u_n)$ là dãy hằng và hiển nhiên có giới hạn.
Vậy các giá trị $a$ thỏa yêu cầu đề bài là $a= \pm s$
Công thức truy hồi \[{u_{n + 1}} = \frac{6}{{u_n^2 + 2}} = \frac{6}{{{{\left( {\frac{6}{{u_{n - 1}^2 + 2}}} \right)}^2} + 2}} = \frac{{3{{\left( {u_{n - 1}^2 + 2} \right)}^2}}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Ta chia dãy ban đầu thành 2 dãy chẵn lẻ
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_{n - 1}} = - \frac{{\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\left( {{u_{n - 1}} - 2} \right)\left( {u_{n - 1}^3 + 2{u_{n - 1}} - 6} \right)}}{{u_{n - 1}^4 + 4u_{n - 1}^2 + 22}}\]
Nhận xét: $a$ âm hay dương không ảnh hưởng đến tính chất của dãy số (vì sao - bạn thử lí giải nhé). Vậy giả sử luôn $a \ge 0$
Đến đây ta biện luận tất cả các giá trị có thể có của $a$:
Với $a \le 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy tăng có $lim=1$ và dãy giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s > a > 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=1$ và dãy không giảm có $lim=2$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a \ge 1$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không tăng có $lim=2$ và dãy không giảm có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $s < a <2$, 2 dãy chẵn lẻ lần lượt là dãy không giảm có $lim=2$ và dãy không tăng có $lim=1$ nên dãy $(u_n)$ không có giới hạn
Với $a=s$, dãy $(u_n)$ là dãy hằng và hiển nhiên có giới hạn.
Vậy các giá trị $a$ thỏa yêu cầu đề bài là $a= \pm s$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng VMF ^_^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-03-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
Giải hệ với $xy+yz+zx=1$Bắt đầu bởi dark templar, 10-03-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x+y=18 \\ \log_{2}x.\log_{3}y=1 \end{matrix}\right.$$Bắt đầu bởi dark templar, 25-02-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
S có thể là số chính phương ?Bắt đầu bởi dark templar, 07-01-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh