Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$$x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Bài toán mở ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 09-03-2012 - 22:00

Bài toán: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-09-2012 - 15:25

Bài toán: Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x+y+z=1$;$k$ là hằng số cho trước.Tìm GTLN và GTNN của:
$$A=x^2+y^2+z^2+kxyz$$

Mình đã đưa ra kết quả cho bài này tại đây:
http://diendantoanho...ưa-co-lời-giải/
Xin phép chủ bài toán cho mình đem nó qua Mathlinks.ro nha!

#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-09-2012 - 12:08

Mình đã đưa ra kết quả cho bài này tại đây:
http://diendantoanho...ưa-co-lời-giải/
Xin phép chủ bài toán cho mình đem nó qua Mathlinks.ro nha!

Bạn có thể chứng minh được các kết quả mà bạn đưa ra không ?
P/s:Bạn cứ tự nhiên đưa nó qua ML.Dù sao mình cũng đã định đưa nó qua bên đó ,nhưng mình muốn các mem VMF thảo luận trước nên mới đưa nó qua đây :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2012 - 14:04

Bạn có thể chứng minh được các kết quả mà bạn đưa ra không ?
P/s:Bạn cứ tự nhiên đưa nó qua ML.Dù sao mình cũng đã định đưa nó qua bên đó ,nhưng mình muốn các mem VMF thảo luận trước nên mới đưa nó qua đây :D

Bài này thực chất giống với bài $x+y+z=1$.Tìm min max của $xy+yz+zx-kxyz$ ạ :)

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.Tìm max min của :
$D=xy+yz+zx-kxyz$
Giải:
TÌM MAX:
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc với $x,y,z$ không âm ta có:
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$(Dễ dàng chứng minh) Nhưng do $x+y+z=1$
Nên $xyz\geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$
Khai triển và biến đổi ta có :$\frac{9xyz+1}{4}\geq xy+yz+zx$
Vì vậy $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz$
.Nếu $k\leq \frac{9}{4}$ :
Thì $D\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)xyz\leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-k)(\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{9-k}{27}$ (Do $x+y+z=1$)
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
.Còn nếu $k\geq \frac{9}{4}$ thì $maxD\leq \frac{1}{4}$ (Do $xyz\geq 0$ và $\frac{9}{4}-k\leq 0$)
TÌM MIN:
Ta có $D=xy+yz+zx-kxyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-kxyz\geq (9-k)xyz$
.Nếu $k\leq 9$ Thì $9-k\geq 0\to (9-k)xyz\geq 0$
Dấu = xảy ra khi tr0ng x,y,z có 1 số =0
.Nếu $k\geq 9$ Thì $9-k\leq 0\to (9-k)xyz\geq (9-k)\frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{9-k}{27}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-09-2012 - 14:05

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#5 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2012 - 09:36

Bài này thực chất giống với bài $x+y+z=1$.Tìm min max của $xy+yz+zx-kxyz$ ạ :)

Giống chỗ nào nhỉ?? Nhìn mãi không ra!! :ohmy: Hình thức thì giống nhưng bản chất thì không thấy giống!!

#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2012 - 14:07

Giống chỗ nào nhỉ?? Nhìn mãi không ra!! :ohmy: Hình thức thì giống nhưng bản chất thì không thấy giống!!

@@~ Do $1-2(xy+yz+zx-kxyz)=x^2+y^2+z^2+2kxyz$ nên rõ ràng để tìm max min của $x^2+y^2+z^2+2kxyz$ cũng như $x^2+y^2+z^2+kxyz$ ta chỉ cần tìm max min của $xy+yz+zx-kxyz$ :mellow:

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#7 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2012 - 18:31

@@~ Do $1-2(xy+yz+zx-kxyz)=x^2+y^2+z^2+2kxyz$ nên rõ ràng để tìm max min của $x^2+y^2+z^2+2kxyz$ cũng như $x^2+y^2+z^2+kxyz$ ta chỉ cần tìm max min của $xy+yz+zx-kxyz$ :mellow:

Anh giải trực tiếp với bậc hai của $ x, y, z $ luôn và chia làm 3 trường hợp tất cả!! Phần Min thì chỉ chứng minh trong trường hợp $ k=\frac{9}{2} $ và Max thì trường hợp $ k=18 $ và $ k >18 $ là đủ!! Còn em giải với bậc 1 theo $ x, y, z $ công việc nhẹ nhàng hơn anh rất nhiều!! :(




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh