Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$
Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$
Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$
Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$
Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$
$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$
Ta cần tìm các hệ số của pt (dựa vào giả thiết):
$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$
$$b_{n+2}=t_nb_n$$
Theo giả thiết, ta có
$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$
$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$
$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$
$$....$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 12-12-2015 - 11:24
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh