Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm các hệ số của $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 09-03-2012 - 22:28

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$


Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 12-12-2015 - 08:55

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$

 

 

Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$

 

Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$

 

$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$

 

Ta cần tìm các  hệ số của pt (dựa vào giả thiết):

$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$

$$b_{n+2}=t_nb_n$$

 

Theo giả thiết, ta có

 

$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$

$$....$$

 
Đoán: $k_n = 2n+3, \,\, t_{n}=k_{n-1}+t_{n-1}=t_{n-1}+2n+1, t_0=1$ (quy nạp lại để chứng minh :D )
 
Dễ dàng suy ra $$t_{n}=(n+1)^2\to b_{n+2}=(n+1)^2b_n,\,\, b_0=0, \,\,b_1=1$$
 
*************************************
Làm tiếp:
 
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b_{2n}=0\\b_1=1\\b_{2n+1}=4n^2b_{2n-1}=...=4^n(n!)^2b_1=4^n(n!)^2\end{matrix}\right.$$
 
$$\Rightarrow a_n=\frac{b_{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$$
 
Giải phương trình:
 
$$(1-x^2)y'-xy=1\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}y'-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
$$\left ( y\sqrt{1-x^2} \right )'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow y=\frac{\arcsin(x)+C}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
So sánh kết quả với khai triển: wolframalpha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 12-12-2015 - 11:24

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh