Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tìm các hệ số của $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 09-03-2012 - 22:28

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$


Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1098 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 12-12-2015 - 08:55

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$

 

 

Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$

 

Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$

 

$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$

 

Ta cần tìm các  hệ số của pt (dựa vào giả thiết):

$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$

$$b_{n+2}=t_nb_n$$

 

Theo giả thiết, ta có

 

$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$

$$....$$

 
Đoán: $k_n = 2n+3, \,\, t_{n}=k_{n-1}+t_{n-1}=t_{n-1}+2n+1, t_0=1$ (quy nạp lại để chứng minh :D )
 
Dễ dàng suy ra $$t_{n}=(n+1)^2\to b_{n+2}=(n+1)^2b_n,\,\, b_0=0, \,\,b_1=1$$
 
*************************************
Làm tiếp:
 
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b_{2n}=0\\b_1=1\\b_{2n+1}=4n^2b_{2n-1}=...=4^n(n!)^2b_1=4^n(n!)^2\end{matrix}\right.$$
 
$$\Rightarrow a_n=\frac{b_{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$$
 
Giải phương trình:
 
$$(1-x^2)y'-xy=1\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}y'-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
$$\left ( y\sqrt{1-x^2} \right )'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow y=\frac{\arcsin(x)+C}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
So sánh kết quả với khai triển: wolframalpha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 12-12-2015 - 11:24

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh