Đến nội dung

Hình ảnh

Giải hệ với $xy+yz+zx=1$

- - - - - Tặng VMF ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài toán: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} 3\left ( x+\frac{1}{x} \right )=4\left ( y+\frac{1}{y} \right )=5\left ( z+\frac{1}{z} \right ) \\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2012 - 07:33

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài toán: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} 3\left ( x+\frac{1}{x} \right )=4\left ( y+\frac{1}{y} \right )=5\left ( z+\frac{1}{z} \right ) \\ xy+yz+2x=1 \end{matrix}\right.$$


Hình như Phúc gõ nhầm đề à.

$\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$


Nhận thấy $xyz \ne 0;x,y,z$ cùng dấu. Nếu $\left( {x,y,z} \right)$ là một nghiệm của hệ thì $\left( {-x,-y,-z} \right)$ cũng là nghiệm của hệ, do đó ta chỉ cần tìm nghiệm dương $x,y,z$.

Đặt $x = tg\alpha ;y = tg\beta ;z = tg\gamma \,\,\left( {\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)$. Khi đó hệ tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}
3\left( {tg\alpha + \frac{1}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {tg\beta + \frac{1}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {tg\gamma + \frac{1}{{tg\gamma }}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
tg\alpha tg\beta + tg\beta tg\gamma + tg\gamma tg\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$
$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{1 + t{g^2}\alpha }}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {\frac{{1 + t{g^2}\beta }}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {\frac{{1 + t{g^2}\gamma }}{{tg\gamma }}} \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}$$
$$\left( 2 \right) \Rightarrow tg\gamma \left( {tg\alpha + tg\beta } \right) = 1 - tg\alpha tg\beta \Rightarrow \cot g\gamma = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 - tg\alpha tg\beta }} = tg\left( {\alpha + \beta } \right)$$
$$\Rightarrow tg\left( {\frac{\pi }{2} - \gamma } \right) = tg\left( {\alpha + \beta } \right) \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}$$
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}\\
\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right);\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ suy ra $2\alpha ,2\beta ,2\gamma $ là các góc của một tam giác có số đo ba cạnh là $3,4,5$. Đây chính là tam giác vuông nên
$$\left\{ \begin{array}{l}
2\gamma = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \gamma = \frac{\pi }{4} \Rightarrow z = tg\gamma = 1\\
tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{3}\\
tg2\beta = \frac{{2tg\beta }}{{1 - t{g^2}\beta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x;y;z} \right) = \left\{ {\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{2}; - 1} \right),\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2};1} \right)} \right\}}$


Bài này có thể làm như sau:
Đặt $3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}=t$
$ ta có xy+yz+zx=1\rightarrow 1+x^{2}+1=(x+y)(x+z)$
$\rightarrow 3(x+\frac{1}{x}=(x+y)(x+z)\rightarrow tx(y+z)=3(x+y)(y+z)(z+x).$
$\text{Chứng minh tương tự:} \frac{xt(y+z)}{3}=\frac{yt(x+z)}{4}=\frac{zt(y+x)}{5}=(x+y)(y+z)(z+x)=\frac{2(xy+yz+zx)}{3+4+5}=\frac{1}{6}$
từ đó cũng suy ra kết quả



#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Àh đúng là em gõ nhầm đề thật :P Sửa đề lại giống anh là được :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Bài này nếu tổng quát lên, không phải hệ số là 3, 4, 5 thì các anh làm cách này có được không ( chú ý nghiệm phải ở dạng số thực rõ ràng). Gợi ý các anh: Đây là bài hệ của BETA ở trận gặp GAMA.
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#5
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 2 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $
Giải : ĐK : $ x, y, z \neq 0$
Từ $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow y( x + z ) + zx = 1$
Nếu $ x = - z \Rightarrow - z^2 = 1$. Vậy $ x + z \neq 0 $
Tương tự ta cũng có : $ x + y; y + z \neq 0 $
Từ đó ta có: $ yz, xz, xy \neq 0$
$ 3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) $
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{ x^2 + 1 }{x} = 4.\dfrac{y^2 + 1}{y} = 5.\dfrac{z^2 + 1}{z}$
Ta có : $ x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + xz = x.( x + y ) + z.( x + y ) = ( x + z )( x + y )$
Tương tự : $ y^2 + 1 = ( y + z )( y + x ); z^2 + 1 = ( z + x )( z + y )$
$ \Rightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )}{x} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z ) }{y} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )}{z}$
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )( y + z )}{x.( y + z )} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z )( x + z) }{y( z + x )} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )( x + y )}{z( x + y )}$
$ \Rightarrow \dfrac{3}{xy + xz} =\dfrac{4}{xy + yz}=\dfrac{5}{zy + xz}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{3}{1 - yz} =\dfrac{4}{1 - xz}=\dfrac{5}{1 - xy}$
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3( 1 - xy) = 5( 1 - yz)\\4( 1 - yz) = 3( 1 - xz )\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} xy = \dfrac{5yz - 2}{3}\\xz = \dfrac{4yz - 1}{3}\end{array}\right.$
Do $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow \dfrac{5yz - 2}{3} + \dfrac{4yz - 1}{3} + yz = 1 $
$ \Rightarrow yz = \dfrac{1}{2} \Rightarrow xz = \dfrac{1}{3}; xy = \dfrac{1}{6} $
$ \Rightarrow ( xyz)^2 = \dfrac{1}{36} \Rightarrow xyz = \dfrac{1}{\pm 6}$
$ \Rightarrow x = \dfrac{\pm 1}{3}; y = \dfrac{\pm 1}{2}; z = \pm 1 $
Vậy hệ có 2 nghiệm : $ ( x; y; z ) = (\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{2};1); ( \dfrac{- 1}{3}; \dfrac{- 1}{2}; - 1) $
P/S : Bài này hơi dài...







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng VMF ^_^

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh