Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Giải hệ với $xy+yz+zx=1$

Tặng VMF ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 10-03-2012 - 19:39

Bài toán: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} 3\left ( x+\frac{1}{x} \right )=4\left ( y+\frac{1}{y} \right )=5\left ( z+\frac{1}{z} \right ) \\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2012 - 07:33

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-03-2012 - 21:53

Bài toán: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} 3\left ( x+\frac{1}{x} \right )=4\left ( y+\frac{1}{y} \right )=5\left ( z+\frac{1}{z} \right ) \\ xy+yz+2x=1 \end{matrix}\right.$$


Hình như Phúc gõ nhầm đề à.

$\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$


Nhận thấy $xyz \ne 0;x,y,z$ cùng dấu. Nếu $\left( {x,y,z} \right)$ là một nghiệm của hệ thì $\left( {-x,-y,-z} \right)$ cũng là nghiệm của hệ, do đó ta chỉ cần tìm nghiệm dương $x,y,z$.

Đặt $x = tg\alpha ;y = tg\beta ;z = tg\gamma \,\,\left( {\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)$. Khi đó hệ tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}
3\left( {tg\alpha + \frac{1}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {tg\beta + \frac{1}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {tg\gamma + \frac{1}{{tg\gamma }}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
tg\alpha tg\beta + tg\beta tg\gamma + tg\gamma tg\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$
$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{1 + t{g^2}\alpha }}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {\frac{{1 + t{g^2}\beta }}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {\frac{{1 + t{g^2}\gamma }}{{tg\gamma }}} \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}$$
$$\left( 2 \right) \Rightarrow tg\gamma \left( {tg\alpha + tg\beta } \right) = 1 - tg\alpha tg\beta \Rightarrow \cot g\gamma = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 - tg\alpha tg\beta }} = tg\left( {\alpha + \beta } \right)$$
$$\Rightarrow tg\left( {\frac{\pi }{2} - \gamma } \right) = tg\left( {\alpha + \beta } \right) \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}$$
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}\\
\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right);\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ suy ra $2\alpha ,2\beta ,2\gamma $ là các góc của một tam giác có số đo ba cạnh là $3,4,5$. Đây chính là tam giác vuông nên
$$\left\{ \begin{array}{l}
2\gamma = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \gamma = \frac{\pi }{4} \Rightarrow z = tg\gamma = 1\\
tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{3}\\
tg2\beta = \frac{{2tg\beta }}{{1 - t{g^2}\beta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x;y;z} \right) = \left\{ {\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{2}; - 1} \right),\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2};1} \right)} \right\}}$


Bài này có thể làm như sau:
Đặt $3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}=t$
$ ta có xy+yz+zx=1\rightarrow 1+x^{2}+1=(x+y)(x+z)$
$\rightarrow 3(x+\frac{1}{x}=(x+y)(x+z)\rightarrow tx(y+z)=3(x+y)(y+z)(z+x).$
$\text{Chứng minh tương tự:} \frac{xt(y+z)}{3}=\frac{yt(x+z)}{4}=\frac{zt(y+x)}{5}=(x+y)(y+z)(z+x)=\frac{2(xy+yz+zx)}{3+4+5}=\frac{1}{6}$
từ đó cũng suy ra kết quả



#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 11-03-2012 - 07:33

Àh đúng là em gõ nhầm đề thật :P Sửa đề lại giống anh là được :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 11-03-2012 - 08:26

Bài này nếu tổng quát lên, không phải hệ số là 3, 4, 5 thì các anh làm cách này có được không ( chú ý nghiệm phải ở dạng số thực rõ ràng). Gợi ý các anh: Đây là bài hệ của BETA ở trận gặp GAMA.
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-03-2012 - 09:29

Bài 2 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $
Giải : ĐK : $ x, y, z \neq 0$
Từ $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow y( x + z ) + zx = 1$
Nếu $ x = - z \Rightarrow - z^2 = 1$. Vậy $ x + z \neq 0 $
Tương tự ta cũng có : $ x + y; y + z \neq 0 $
Từ đó ta có: $ yz, xz, xy \neq 0$
$ 3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) $
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{ x^2 + 1 }{x} = 4.\dfrac{y^2 + 1}{y} = 5.\dfrac{z^2 + 1}{z}$
Ta có : $ x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + xz = x.( x + y ) + z.( x + y ) = ( x + z )( x + y )$
Tương tự : $ y^2 + 1 = ( y + z )( y + x ); z^2 + 1 = ( z + x )( z + y )$
$ \Rightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )}{x} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z ) }{y} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )}{z}$
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )( y + z )}{x.( y + z )} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z )( x + z) }{y( z + x )} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )( x + y )}{z( x + y )}$
$ \Rightarrow \dfrac{3}{xy + xz} =\dfrac{4}{xy + yz}=\dfrac{5}{zy + xz}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{3}{1 - yz} =\dfrac{4}{1 - xz}=\dfrac{5}{1 - xy}$
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3( 1 - xy) = 5( 1 - yz)\\4( 1 - yz) = 3( 1 - xz )\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} xy = \dfrac{5yz - 2}{3}\\xz = \dfrac{4yz - 1}{3}\end{array}\right.$
Do $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow \dfrac{5yz - 2}{3} + \dfrac{4yz - 1}{3} + yz = 1 $
$ \Rightarrow yz = \dfrac{1}{2} \Rightarrow xz = \dfrac{1}{3}; xy = \dfrac{1}{6} $
$ \Rightarrow ( xyz)^2 = \dfrac{1}{36} \Rightarrow xyz = \dfrac{1}{\pm 6}$
$ \Rightarrow x = \dfrac{\pm 1}{3}; y = \dfrac{\pm 1}{2}; z = \pm 1 $
Vậy hệ có 2 nghiệm : $ ( x; y; z ) = (\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{2};1); ( \dfrac{- 1}{3}; \dfrac{- 1}{2}; - 1) $
P/S : Bài này hơi dài...







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh