Romania District Olympiad 2012
Bài 1. Cho $a,b,c$ là ba số thực phân biệt. Tính
$$\lim\limits_{t\to\infty}\int_0^t\dfrac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)}.$$
Bài 2. Cho $(A,+,.)$ là vành đơn vị có 9 phần tử. Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương đương
$ \circ $ Với mọi $x\in A\setminus\{0\}$ luôn tồn tại $a\in\{-1,0,1\}$ và $b\in\{-1,1\}$ sao cho $x^2+ax+b=0$.
$ \circ $ $(A,+,.)$ là một trường.
Bài 3. Cho $G$ là một nhóm nhân gồm $n$ phần tử. Tìm tất cả các hàm số $f:G\to \mathbb{N}^*$ thoả đồng thời hai điều kiện sau:
$ \circ $ $f(x)=1$ khi và chỉ khi $x$ là phần tử đơn vị.
$ \circ $ $f(x^k)=\dfrac{f(x)}{(f(x),k))}$ với mọi $k$ là ước của $n$ và mọi $x\in G$, ở đây kí hiệu $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a$ và $b$.
Bài 4. Cho $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi sao cho $f(0)=f(1)=0$ và $|f'(x)|\leq 1,\forall x\in[0,1]$. Chứng minh rằng
$$|\int_0^1 f(t)dt|<\dfrac{1}{4}.$$
