Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $(x;y;z)$ là bộ nghiệm của hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.

[Crystal]

Bài toán: Cho $(x;y;z)$ là bộ nghiệm của hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.

Bài này đã được giải trên VMF nhưng anh không nhớ ở đâu.

Kết quả là:

$S = 0\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 0$

$S = 9\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 3$

$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right)$

$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{9}} \right)$

[dark templar]

Bài này đã được giải trên VMF nhưng anh không nhớ ở đâu.

Kết quả là:

$S = 0\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 0$

$S = 9\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 3$

$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right)$

$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{9}} \right)$

Kết quả chính xác là $S=\{0;6;9 \}$.2 tổng cuối có thể tính ra kết quả đại Số
P/s:Bài này hồi xưa là em giải cho bạn Giang1994 .Chắc cũng được hơn 1 năm rưỡi rồi

[tieulyly1995]

Bài toán: Cho $(x;y;z)$ là bộ nghiệm của hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.

Giả sử $\left( {x;y;z} \right)$ là một nghiệm đã cho. Cộng các vế PT của hệ ta được: $3S = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 0 \Rightarrow S \ge 0$

Suy ra trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất một số không âm, giả sử $x \ge 0$. Từ $\left( 1 \right):y\left( {4 - y} \right) = x \ge 0 \Rightarrow 0 \le y \le 4$. Bằng phép hoán vị vòng quanh, suy ra $0 \le x,y,z \le 4$.

Đặt: $x = 4{\sin ^2}\alpha ;\,\,\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$. Từ $\left( 3 \right) \Rightarrow z = 4{\sin ^2}\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}\alpha } \right) = 16{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 4{\sin ^2}2\alpha $

và $\left( 2 \right) \Rightarrow y = 4{\sin ^2}2\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}2\alpha } \right) = 4{\sin ^2}4\alpha ;\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow x = 4{\sin ^2}4\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}4\alpha } \right) = 4{\sin ^2}8\alpha $

Do đó $\alpha $ là nghiệm của phương trình: ${\sin ^2}8\alpha = {\sin ^2}\alpha \Leftrightarrow c{\rm{os}}16\alpha = c{\rm{os}}2\alpha $. Suy ra

* $16\alpha = 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{7}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3} \right\}$

$i)$ $k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + {{\sin }^2}4\alpha } \right) = 0$

$ii)\,\,\,k = 1,2,3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right)$

* $16\alpha = - 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{9}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$

$i)\,\,\,k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 0$

$ii)\,\,\,k = 1,2,4 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right)$

$iii)\,\,\,k = 3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$.

Vậy tổng $S$ có thể nhận trong một các giá trị sau: $S = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0;\,\,\,\,\,S = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 3$

$$S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$$.

http://diendantoanho...showtopic=63679