Chủ đề này có 1 trả lời

[kingsaha]

Cho tam giác ABC có a,b,c lần lượt la độ dài 3 cạnh BC, AC, AB và R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Cmr:

\[
\frac{{a^2 b^2 c^2 }}{{a^2 + b^2 + c^2 }} \le 6R^3 r
\]

Chú ý hơn cách đặt tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-03-2012 - 13:21

[dark templar]

Cho tam giác ABC có a,b,c lần lượt la độ dài 3 cạnh BC, AC, AB và R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Cmr:

\[
\frac{{a^2 b^2 c^2 }}{{a^2 + b^2 + c^2 }} \le 6R^3 r
\]

Để ý rằng:
$$2Rr=\frac{abc}{a+b+c}$$
Nên ta viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\frac{a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2} \le \frac{3R^2abc}{a+b+c} \iff \frac{abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2} \le 3R^2$$
Sử dụng 2 BĐT cơ bản sau:
$$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$$
$$(xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z)$$
Ta có:
$$\frac{abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$
Như vậy ta chỉ còn phải chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2 \le 9R^2 \iff \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C} \le \frac{9}{4}$$
Đây là BĐT Lượng Giác quen thuộc nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.

P/s:Bạn nên sửa lại tiêu đề.Cách đặt tiêu đề:
http://diendantoanhoc.net/index.php?showannouncement=5&f=52

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2012 - 09:02