Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum{\dfrac{a}{\sqrt{4a + 5b^2}}} \le \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$

- - - - - Khó !

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Chứng minh rằng với mọi số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ ,
$$\dfrac{a}{\sqrt{4a + 5b^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{4b + 5c^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{4c + 5a^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ ,
$$\dfrac{a}{\sqrt{4a + 5b^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{4b + 5c^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{4c + 5a^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$

Sau đây là lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn (có chỉnh sửa)
Áp dụng CS, ta có :
$VT^2 \le (a+b+c)\left (\dfrac{a}{4a+5b^2}+\dfrac{b}{4b+5c^2}+\dfrac{c}{4c+5a^2}\right )$
Lúc này, cần chứng minh :
$$\dfrac{b^2}{4a+5b^2}+\dfrac{c^2}{4b+5c^2}+\dfrac{a^2}{4c+5a^2} \ge \dfrac{3}{17}$$
Áp dụng CS, ta có :
$$\dfrac{b^2}{4a+5b^2}+\dfrac{c^2}{4b+5c^2}+\dfrac{a^2}{4c+5a^2} \ge \dfrac{\left (a^2+b^2+c^2\right )^2}{5\left (a^4+b^4+c^4\right )+4\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )}$$
Lúc đó, cần chứng minh :
$$2\left (a^4+b^4+c^4\right )+34\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right ) \ge 12\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )$$
$$\Leftrightarrow 2\left (a^4+b^4+c^4\right )+34\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right ) \ge 12\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )(a+b+c)$$
$$\Leftrightarrow 2\left (a^4+b^4+c^4\right )+22\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right ) \ge 12\left (ab^3+bc^3+ca^3\right )+12abc$$
$$\Leftrightarrow \sum \left (a^2-b^2+2ab+2bc-4ca\right )^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-08-2012 - 14:53

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Khó !

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh