1) $$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^3+y^3)$$
2) $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$$ (Với p, q, r nguyên tố)
3) $$54x^3+1=y^3$$
4) Tìm các cặp số nguyên dương thỏa mãn.
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$$
Edited by huynhmylinh, 01-06-2012 - 08:03.
Edited by huynhmylinh, 01-06-2012 - 08:03.
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
4) Tìm các cặp số nguyên dương thỏa mãn.
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$$
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
Đương nhiên là phải chứng minh Huy ak`. Bạn nào chứng minh cho mình đc không vậy.Về Bổ đề $a^2+b^2 \vdots p$ , nếu p là nguyên tố có dạng 4k+3 thì $a \vdots p$ và $b \vdots p$ vào thi có cần CM không
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
1 bài nhìn vào thì giống lùi vô hạn nhưng lại kết thúc không giống lùi vô hạn$x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)(1)$
$\Leftrightarrow (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 = 2003^{2001}(x^3+y^3)$
$\Rightarrow (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 \vdots 2003$
Mà:
$2003$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$
$\Rightarrow x^{1001} \vdots 2003;y^{1001} \vdots 2003$
mà 2003 là số nguyên tố $\Rightarrow x,y \vdots 2003$
đặt $:x=2003.k;y=2003.q(k,q \in Z)$
khi đó
$x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)$
$\Leftrightarrow 2003^{2002}.k^{2002}+2003^{2002}.q^{2002}$
$=2003^{2001}(2003^3.k^3+2003^3.q^3)$
$\Leftrightarrow 2003^{2001}.(2003.k^{2002}+2003.q^{2002})$
$=2003^{2001}(2003^3.k^3+2003^3.q^3)$
$\Leftrightarrow 2003.k^{2002}+2003.q^{2002}= 2003^3.k^3+2003^3.q^3$
$\Leftrightarrow 2003^2(k^3+q^3)=k^{2002}+q^{2002}$
Làm tương tự, ta có:
$k,q \vdots 2003$
$ \Rightarrow k=2003.m;q=2003.n$
Do đó
$2003^2(k^3+q^3)=k^{2002}+q^{2002}$
$\Leftrightarrow 2003^{2}(2003^3.m^3+2003^3.n^3)=2003^{2002}.m^{2002}+2003^{2002}.n^{2002}$
$\Leftrightarrow m^3+n^3=2003^{1997}(m^{2002}+n^{2002})$
$\Leftrightarrow 2003^{1997}(m^{2002}+n^{2002 })=m^3+n^3$
với mọi $m,n \in Z$
thì
$m^{2002}+n^{2002} > m^3+n^3$
nên $m=n=0 \Rightarrow x=y=0$
..................................................................................
Hic, làm bài này xong muốn ném con chuột vô màn hình @@
Có gì sai sót thì đợi mình mua chuột mới sẽ sửa
Bạn đã nhanh hơn Tuấn nhưng bạn xét thiếu 2 TH a không chia hết và b chia hết và ngược lạiCông thức này được học cũng khá lâu rồi, nhưng nhớ để mà áp dụng thì lại là cái mình chưa làm được.
Giả sử a,b đều không chia hết cho p. Mà p nguyên tố.
=>(a;p)=(b;p)=1
Áp dụng ĐL Fecma:
$ a^{p-1} \equiv 1 $ (mod p)
$ b^{p-1} \equiv 1 $ (mod p)
=> $ a^{4k+2} \equiv 1$ (mod p)(1)
$ b^{4k+2} \equiv 1$ (mod p)(2)
=> (1)+(2) $ \equiv 2$ mod p. (*)
Mà (1)+(2)= $ (a^2)^{2k+1)+(b^2)^{2k+1} $ chia hết cho a^2+b^2.
Mà $a^2+b^2$ chia hết cho p.
=> $ a^{4k+2}+b^{4k+2} $ chia hết cho p.(**)
Từ *;** => 2 chia hết cho p.
Mà p nguyên tố
=> p=2 không có dạng 4k+3.
=> giả sử sai.
=> a chia hết cho p; b chia hết cho p.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Còn 2 bài, mọi người làm tiếp nào, rồi mình post tiếp nhé.Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
2) $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$$ (Với p, q, r nguyên tố)
3) $$54x^3+1=y^3$$
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
3) $$54x^3+1=y^3$$
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
Mọi người làm hết đi nhé, mấy bài trên là bài cơ bản thôi, xong mình sẽ post tiếp.Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
2) $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$$ (Với p, q, r nguyên tố)
Bài 2: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1)f(2)=35. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên.
Bài 3: Chứng minh rằng cá phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) $3x^2-4y^2=13$
b) $19x^2+28y^2=2001$
c) $x^2=2y^2-8y+3$
d) $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$
e) $3x^5-x^3+6x^2-18x=2001$
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
Bài này a Trọng thử nhân 2 vế với $216x^3$. Sẽ nhẹ hơn cách của a làm đó.$$54x^3+1=y^3$$
$\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{54x^{3}+1}$
Đặt $k^{3}=54x^{3}+1$
$\Leftrightarrow k^{3}-54x^{3}=1$
$\Leftrightarrow (k-\sqrt[3]{54}x)[k^{2}+k.\sqrt[3]{54}x+(\sqrt[3]{54}x)^{2}]=1$
TH1:
$\left\{\begin{matrix} k-\sqrt[3]{54}x=1\\ k^{2}+k.\sqrt[3]{54}x+(\sqrt[3]{54}x)^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{54}x=k-1(a)\\ k^{2}+k.\sqrt[3]{54}x+(\sqrt[3]{54}x)^{2}=1(b) \end{matrix}\right.$
Thay $(a)$ vào $(b)$:
$k^{2}+k.(k-1)+(k-1)^{2}=1$
$\Leftrightarrow 3k^{2}-3k=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k=0\\ k=1 \end{bmatrix}$
Với $k=0\Rightarrow x=-\frac{1}{\sqrt[3]{54}}$ (loại)
Với $k=1\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$ (nhận)
TH2:
$\left\{\begin{matrix} k-\sqrt[3]{54}x=-1\\ k^{2}+k.\sqrt[3]{54}x+(\sqrt[3]{54}x)^{2}=-1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{54}x=-(k+1)©\\ k^{2}+k.\sqrt[3]{54}x+(\sqrt[3]{54}x)^{2}=1(d) \end{matrix}\right.$
Thay $©$ vào $(d)$:
$k^{2}+k.[-(k+1)]+[-(k+1)]^{2}=1$
$k^{2}+k=0$
Tương tự TH1, ta nhận $k=1\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$
KẾT LUẬN: Phương trình có $1$ cặp nghiệm nguyên:
$$\boxed{(x;y)=(0;1)}$$
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
P/S: Anh Trọng mô rồi, còn mấy bài tê giải quyết đi nha, tối em kiểm tra, giờ ăn cơm đã!
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$Started by Khanh12321, 25-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Started by Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênStarted by hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch and 1 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Started by Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$\frac{2023}{x + y}+\frac{x}{y+2022}+\frac{y}{4045}+\frac{2022}{x + 2023}=2$Started by datzv423, 25-03-2023 đại số and 1 more... |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users