Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN THCS

Phương Trình Nghiệm Nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#41 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 14-03-2012 - 19:53

Bài 5 tù Gt suy ra $ x^{2}+y^{2}$ /3 mà 3 là số ntố dạng 4k+3 nên x/3 và y/3 .Đến đây lùi vô hạn .
bài 2 nhân 2 vế vs 4 rồi cộng thêm 1 sau đó dùng pp chặn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-03-2012 - 19:57


#42 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 14-03-2012 - 19:55

Bài 5 tù Gt suy ra $ x^{2}+y^{2}$ /3 mà 3 là số ntố dạng 4k+3 nên x/3 và y/3 .Đến đây lùi vô hạn .

Cảm ơn bạn đã ủng hộ mình, phần 4 cũng làm như vậy mà, bạn thử xem sao nhé.

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#43 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 14-03-2012 - 20:04

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$$


$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}-2)^{2}=(\sqrt{x+y})^{2}$

$\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}-4\sqrt{x}-4\sqrt{y}+4=x+y$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}(\sqrt{y}-2)-4(\sqrt{y}-2)-4=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2$

TH1:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=1\\ \sqrt{y}-2=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=3\\ \sqrt{y}=4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=9\\ y=16 \end{matrix}\right.$



TH2:


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=2\\ \sqrt{y}-2=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=4\\ \sqrt{y}=3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=16\\ y=9 \end{matrix}\right.$



TH3:


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-1\\ \sqrt{y}-2=-2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=1\\ \sqrt{y}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0(false) \end{matrix}\right.$




TH3:


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-2\\ \sqrt{y}-2=-1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=0\\ \sqrt{y}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0(false)\\ y=1 \end{matrix}\right.$



KẾT LUẬN: Phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên dương:

$$\boxed{(x,y)=(9;16),(16;9)}$$

A Trọng, từ chỗ em tô đỏ. Em bổ xung nhé.
Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$
$\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}$
$\Rightarrow\sqrt{xy}=2\sqrt{x+y}+2$
$\Rightarrow xy=4(x+y)+8\sqrt{x+y}+4$
Do x nguyên,y nguyên$\Rightarrow8\sqrt{x+y}$ hay $\sqrt{x+y}$ nguyên.
Đặt $\sqrt{x+y}=a(a\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=a+2$
$\Rightarrow\sqrt{x}=(a+x)+\sqrt{y}$
$\Rightarrowx=(a+2)^2-2\sqrt{y}(a+2)+y$
Do x nguyên, a+2 nguyên, y nguyên $\Rightarrow \sqrt{y}$ nguyên.
Từ đó suy ra $\sqrt{x}$ nguyên.

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#44 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 14-03-2012 - 20:15

Tiếp tục nhé mọi người :D
Nâng lên 1 chút.
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình:
1) $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

$ PT\Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$
Suy ra : $ x^{2}+1 , x+1$ là 2 số lẻ .
Đặt d=($ x^{2}+1 , x+1$) suy ra d lẻ .
$ \Rightarrow (x+1)/d$ $ \Rightarrow (x^{2}-1)/d$ mà $ (x^{2}+1)/d$ nên 2/d $\Rightarrow d= 1$
Suy ra : ($ x^{2}+1 , x+1$)=1 , do đó $ x^{2}+1$ và $ x+1$ là 2 số chính phuong .
Suy ra : $ x^{2}$ và $ x^{2}+1$ là 2 số chính phuong liên tiếp .
suy ra x=0 .Tù đó tìm đc y.

P/s:viết dấu chia hết kiểu j` vậy mọi ng`

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-03-2012 - 20:17


#45 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 14-03-2012 - 20:43

$ PT\Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$
Suy ra : $ x^{2}+1 , x+1$ là 2 số lẻ .
Đặt d=($ x^{2}+1 , x+1$) suy ra d lẻ .
$ \Rightarrow (x+1)/d$ $ \Rightarrow (x^{2}-1)/d$ mà $ (x^{2}+1)/d$ nên 2/d $\Rightarrow d= 1$
Suy ra : ($ x^{2}+1 , x+1$)=1 , do đó $ x^{2}+1$ và $ x+1$ là 2 số chính phuong .
Suy ra : $ x^{2}$ và $ x^{2}+1$ là 2 số chính phuong liên tiếp .
suy ra x=0 .Tù đó tìm đc y.

P/s:viết dấu chia hết kiểu j` vậy mọi ng`

\vdots $\vdots$

Đó bạn, rồi kẹp giữa 2 dấu $$
Mọi người tiếp tục đi chứ, còn mấy phần nữa thôi, tối nay mình sẽ post thêm đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 15-03-2012 - 13:13

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#46 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 15-03-2012 - 13:03

Tiếp tục nhé mọi người :D
Nâng lên 1 chút.
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình:
5) $x^2+y^2=3z^2$
6) $x^2+y^2=6(z^2+t^2)$
7) $x^2+y^2+z^2=2xyz$

Bài 5,6,7 đều có thể dùng lùi vô hạn.
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#47 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 15-03-2012 - 13:07

Bài 7 có ở sách nào đó mà. ý tưởng như sau
$Gọi x_0;y_0;z_0$ là nghiệm của phương trình. Ta đi chứng minh $x_n;y_n;z_n$ cũng là nghiệm
$\to x_0;y_0;z_0 \vdots$ nên $x=y=z=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 15-03-2012 - 13:12
$\ LaTeX$

@@@@@@@@@@@@

#48 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 15-03-2012 - 13:14

Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình:
3) $x^4-2y^2=1$
7) $x^2+y^2+z^2=2xyz$

Còn 2 câu thôi, câu 3 là câu khó nhất
Gợi ý câu 7, giả sử $x\leq y\leq z$ rồi chặn nghiệm.
P/s: Câu 3 mình chưa làm được. :(

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#49 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 15-03-2012 - 15:27

Câu 7: Giải thế này có đúng không.
  • Giả sủ $x,y,z$ lẻ thì $x^2+y^2+z^2$ lẻ, mà $2xyz$ chẵn, mâu thuẫn.
  • Không mất tính tông quát, nếu $x$ chẵn thì $x=2x_1 \implies x^2=4x_1^2$. Ta có
$$4x_1^2+z^2+y^2=4x_1yz$$
Mà $a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ với $a$ nguyên nên $y,z$ chia hết cho 2. Đặt $y=2y_1,z=2z_1$.
Tiếp tục chia $2$ nhu thế ta được nghiệm duy nhất $x=y=z=0$.

________________________
Nhắn -> Toàn: Đúng rồi đấy, lời giải hay!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-03-2012 - 17:28
Đúng rồi

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#50 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 15-03-2012 - 17:35

Mình làm câu khó nhất vậy (câu 3)
Câu 3:
Viết lại đề $$(x^2)^2-2y^2=1 <1> $$
Giả sử $a,b$ bộ nghiệm của <1>
Như vậy $a^2-2b^2=1$
Ta chọn $x^2=a^2+2b^2$ và $y=2ab$
Khi đó $<1> \leftrightarrow (a^2+2b^2)^2-2(2ab)^2=(a^2-2b^2)^2=1$ (do $a^2-2b^2=1$)
Như vậy dạng nghiệm của phương trình là
$$\left\{\begin{array}{1}x^2=a^2+2b^2 \\y=2ab \end{array}\right.$$
Với $x^2=a^2+2b^2$ thì dạng nghiệm là $x=m^2+2n^2,a=m^2-2n^2,b=2mn$
Như vậy tồn tại $a,b$ để $a^2+2b^2=x^2$
Kết luận phương trình vô hạn nghiệm dạng $$\left\{\begin{array}{1}x^2=a^2+2b^2 \\y=2ab \end{array}\right.$$ với $a^2-2b^2=1$
Hay nói cách khác khi chọn được $x,y$ thì ta chọn tiếp được $x_0,y_0$ với $x_0=x^2+2y^2,y_0=2xy$

Chú ý đây là một dạng của phương trình PELL: $x^2-Py^2=k$ với $P$ không phải số chính phương, trên chỉ là một hệ quả của bài toán lớn được lagrange chứng minh tổng quát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-03-2012 - 18:02


#51 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 15-03-2012 - 19:08

Mình làm câu khó nhất vậy (câu 3)
Câu 3:
Viết lại đề $$(x^2)^2-2y^2=1 <1> $$
Giả sử $a,b$ bộ nghiệm của <1>
Như vậy $a^2-2b^2=1$
Ta chọn $x^2=a^2+2b^2$ và $y=2ab$
Khi đó $<1> \leftrightarrow (a^2+2b^2)^2-2(2ab)^2=(a^2-2b^2)^2=1$ (do $a^2-2b^2=1$)
Như vậy dạng nghiệm của phương trình là
$$\left\{\begin{array}{1}x^2=a^2+2b^2 \\y=2ab \end{array}\right.$$
Với $x^2=a^2+2b^2$ thì dạng nghiệm là $x=m^2+2n^2,a=m^2-2n^2,b=2mn$
Như vậy tồn tại $a,b$ để $a^2+2b^2=x^2$
Kết luận phương trình vô hạn nghiệm dạng $$\left\{\begin{array}{1}x^2=a^2+2b^2 \\y=2ab \end{array}\right.$$ với $a^2-2b^2=1$
Hay nói cách khác khi chọn được $x,y$ thì ta chọn tiếp được $x_0,y_0$ với $x_0=x^2+2y^2,y_0=2xy$

Chú ý đây là một dạng của phương trình PELL: $x^2-Py^2=k$ với $P$ không phải số chính phương, trên chỉ là một hệ quả của bài toán lớn được lagrange chứng minh tổng quát

Quá tuyệt, cảm ơn Nguyên và Toàn nhé.
Tiếp tục nhé :D
Bài 8:
1) Giải phương trình $x^2+y^2=7z^2$ (lùi vô hạn:D)
2) Chứng minh rằng số 7 không viết được dưới dạng tổng các bình phương (Áp dụng câu 1)
Bài 9:
Tìm các nghiệm nguyên:
1) $xy-2y-3=3x-x^2$
2) $2x^2+3xy-2y^2=7$
3) $x^2+y^2-x-y=8$
4) $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$
5) $3(x^2-xy+y^2)=7(x+y)$
6) $5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)$
7) $8y^2-25=3xy+5z$
8) $7x^2-5y^2=3$

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#52 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 15-03-2012 - 19:28

Câu 2 bài 9
Phân tích đa thức thành nhân tử ta có $2x^2+3xy-2y^2=7$
$\iff (2x-y)(x+2y)=7$ đến đây thì dễ rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 15-03-2012 - 19:30

@@@@@@@@@@@@

#53 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-03-2012 - 09:49

Quá tuyệt, cảm ơn Nguyên và Toàn nhé.
Tiếp tục nhé :D
Bài 8:
1) Giải phương trình $x^2+y^2=7z^2$ (lùi vô hạn:D)
2) Chứng minh rằng số 7 không viết được dưới dạng tổng các bình phương (Áp dụng câu 1)
Bài 9:
Tìm các nghiệm nguyên:
1) $xy-2y-3=3x-x^2$
2) $2x^2+3xy-2y^2=7$
3) $x^2+y^2-x-y=8$
4) $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$
5) $3(x^2-xy+y^2)=7(x+y)$
6) $5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)$
7) $8y^2-25=3xy+5z$
8) $7x^2-5y^2=3$

Lăng tăng tí ở topic của Tuấn :icon6:
Bài 8 :
1) Từ PT $\Rightarrow x^2 +y^2 \vdots 7$ mà $7\equiv 3(mod4)$
Vậy $x^2 \vdots 7; y^2\vdots 7$ ( Bổ đề này đã được CM ở trang trước )
Đặt $x=7x_1;y=7y_1$
PT trở thành
$49x_1^2+49y_1^2=7z^2$
$\Leftrightarrow 7x_1^2 + 7y_1^2 = z^2$
Vậy $z=7z_1$
PT trở thành
$x_1^2 + y_1^2 = 7z_1^2$
Vậy nếu $(x;y;z)$ là nghiệm thì $(x_1;y_1;z_1)$ cũng là nghiệm
tiếp tục $\Rightarrow x;y;z \vdots 7^n$ vơi n nguyên dương tùy ý
Điều này chỉ xảy ra tại $(x;y;z)=(0;0;0)$
2) Giả sử 7 có thể viết dưới dạng
$7=a^2+b^2$
Ta có $7z^2=(az)^2+(bz)^2$
Ta đã CM PT trên vô nghiệm nguyên dương vậy
$7\neq a^2 + b^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 16-03-2012 - 09:53

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#54 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-03-2012 - 10:20

Quá tuyệt, cảm ơn Nguyên và Toàn nhé.
Tiếp tục nhé :D
Bài 8:
1) Giải phương trình $x^2+y^2=7z^2$ (lùi vô hạn:D)
2) Chứng minh rằng số 7 không viết được dưới dạng tổng các bình phương (Áp dụng câu 1)
Bài 9:
Tìm các nghiệm nguyên:
1) $xy-2y-3=3x-x^2$
2) $2x^2+3xy-2y^2=7$
3) $x^2+y^2-x-y=8$
4) $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$
5) $3(x^2-xy+y^2)=7(x+y)$
6) $5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)$
7) $8y^2-25=3xy+5z$
8) $7x^2-5y^2=3$

4) ; 5) ; 6) đều giải viet
4)
Ta có $(x;y)=(0;0)$ là 1 nghiệm của PT
$x=0 ; y\neq 0$ hay $x\neq 0 ; y=0$ thì PT vô nghiệm
Xét TH : $x;y\neq 0$
Viết lại $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}=\frac{7}{39}$
Vậy ta có thể viết $x+y = 7k ; x^2+xy+y^2=39k$ ĐK : $k > 0$
$\Rightarrow x+y=7k;xy=49k^2-39k$
Vậy x;y là nghiệm của PT
$a^2 -7ka + 49k^2 -39k$
$\Delta = 49k^2 - 4(49k^2-39k) \geq 0$
Kết hợp với ĐK $k > 0$
$\Rightarrow k=1$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix}x+y=7 \\ xy=10 \end{matrix}\right.$
Vậy $x=2;y=5$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 16-03-2012 - 10:24

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#55 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 16-03-2012 - 20:51

Cám ơn Huy đã ủng hộ topic của mình. Mọi người tiếp tục nào. :D
Bài 10:
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên dương:
a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$
b) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}$
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên:
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#56 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 16-03-2012 - 22:12

Cám ơn Huy đã ủng hộ topic của mình. Mọi người tiếp tục nào. :D
Bài 10:
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên dương:
a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$
b) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}$
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên:
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$

Giải như sau:
Bài 10: Vô số nghiệm dạng $(x,y,z)=(0,0,k)$ và hoán vị
Bài 11: Câu a)
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{6xy}=\dfrac{6x+6y+1}{6xy}=\dfrac{1}{6} \rightarrow 6x+6y+1=xy \rightarrow xy-6x-6y-1=0 \rightarrow x(y-6)-6y+36=37 \rightarrow (x-6)(y-6)=36$ đến đây dễ rồi, xét ước là xong
Câu b) tương tự
Bài 12: Gọi $VT$ của pt trên là $A$
Nhận xét: Dù $x,y,z$ dấu có như thế nào thì $\dfrac{xy}{z},\dfrac{yz}{x},\dfrac{zx}{y}$ đều cùng dấu.
Đặt $|x|=a,|y|=b,|z|=c$ nên theo nhận xét trên có
$$A=\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=3$$
Với $a,b,c>0$
Theo bdt cô si 3 số ta có $A\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=3 \rightarrow VT\geq VP$
Dấu $=$ khi $a=b=c=1 \rightarrow |x|=|y|=|z|=1$
Vậy $\boxed{(x,y,z)=(1,1,-1),(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,-1)}$ và hoán vị

#57 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 16-03-2012 - 22:24

Wow, nhanh vậy. Mình post đề tiếp nhé
Bài 12:
Tìm 3 số nguyên dương x, y, z sao cho $xy+1\vdots z,xz+1\vdots y,yz+1\vdots x$
Bài 13: Tìm điều kiện của a để các nghiệm của phương trình đều là số nguyên:
1) $x^2-ax+a+2=0$

2) $x^2+ax+6a=0$
3) $x^2+a^2x+a-1=0$
_______________________________________________________

Mọi người tham gia nhiệt tình vào nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 17-03-2012 - 12:30

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#58 MyLoVeForYouNMT

MyLoVeForYouNMT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Dũng Bắc Giang

Đã gửi 18-03-2012 - 21:58

Wow, nhanh vậy. Mình post đề tiếp nhé
Bài 12:
Tìm 3 số nguyên dương x, y, z sao cho $xy+1\vdots z,xz+1\vdots y,yz+1\vdots x$
Bài 13: Tìm điều kiện của a để các nghiệm của phương trình đều là số nguyên:
1) $x^2-ax+a+2=0$

2) $x^2+ax+6a=0$
3) $x^2+a^2x+a-1=0$
_______________________________________________________

Mọi người tham gia nhiệt tình vào nhé.

Mọi người tham gia nhiệt tình vào nào, topic im ắng quá

​You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person


#59 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 18-03-2012 - 22:48

Wow, nhanh vậy. Mình post đề tiếp nhé
Bài 12:
Tìm 3 số nguyên dương x, y, z sao cho $xy+1\vdots z,xz+1\vdots y,yz+1\vdots x$
Bài 13: Tìm điều kiện của a để các nghiệm của phương trình đều là số nguyên:
1) $x^2-ax+a+2=0$

2) $x^2+ax+6a=0$
3) $x^2+a^2x+a-1=0$
_______________________________________________________

Mọi người tham gia nhiệt tình vào nhé.

Giải như sau:
Bài 12: Ta có $xyz|(xy+1)(yz+1)(zx+1) \rightarrow xyz||x^2y^2z^2+xyz(x+y+z)+xy+yz+zx+1 \rightarrow xyz|xy+yz+zx+1 \rightarrow xy+yz+zx+1=zyzk$
TH1: Nếu $xyz=1 \rightarrow x=y=z=1$ chọn
TH2: Nếu $xyz>1$ thì $k\le 3$ vì nếu $k\geq 4 \rightarrow xy+yz+zx+1\le 4xyz\le VP \rightarrow FALSE!$
WLOG, giả sử $x\geq y\geq z \rightarrow xy\geq xz\geq yz$
Nếu $k=3 \rightarrow xy+yz+zx+1=3xyz \rightarrow 3xy+1\geq 3xyz \rightarrow 4xy\geq 3xyz \rightarrow 4\geq 3z$ đến đây dễ rồi, tìm được $z$ sẽ được $x,y$ vì đưa về phương trình dạng $(x-p)(y-q)=k$ với $p,q,k$ nguyên
Nếu $k=2,1$ tương tự

Bài 13: Mấu chốt là Delta và định lý Viète
a)Viết lại đề $x^2-(a-1)x+2=0$
Áp dụng định lý Viét ta có $x_1+x_2=a-1 \rightarrow a$ nguyên
$x_1,x_2=\dfrac{a-1+\sqrt{(a-1)^2-8}}{2}$
Do đó để nghiệm nguyên thì $\Delta=\sqrt{(a-1)^2-8}$ nguyên hay $(a-1)^2-8=k^2 \rightarrow 8=(a-1-k)(a-1+k)$ (với $a,k$ nguyên)
Đến đây dễ rồi
**Chú ý câu này còn có thể có cách: vì $x$ nguyên nên $x$ là ước của $2$ từ đây xét ước của $2$ là xong
b) tương tự a)
c) Có thể làm như câu a, sau đó có Delta chính phương hay $a^4-4(a-1)$ chính phương rồi dùng kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp để giải sẽ ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-03-2012 - 23:16


#60 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 09-04-2012 - 22:08

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

2) $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$$ (Với p, q, r nguyên tố)


Do $p,q,r$ là số nguyên tố nên $r>max(p,q)$

Do vai trò giữa $p$ và $q$ bình đẳng nên có thể giả sử rằng $p\leq q< r$.

$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)(1)$

$\Leftrightarrow p(p+1)=(r-q)(r+q+1)(2)$

Do $p\leq q<r \Rightarrow p+1<r+p+1. $

Từ $(2)$ ta có: $r-q<p.$ Do $p$ là số nguyên tố nên từ $r-q<p\Rightarrow (p,r-q)=1.$

Kết hợp với $(2)$ ta có:

$(r+q+1)\vdots p$ và $(p+1)\vdots (r-p)$, cũng từ $(2)$ ta có:

$r+q+1=kp \wedge p+1=k(r-q),k$ dương.$(\ast )$

Xét 2 khả năng sau:

$1)$ Nếu $p=2$, từ $p+1=k(r-q)\Rightarrow k(r-q)=3$
$\Rightarrow k=1\vee k=3$

$\cdot$ Nếu $k=1$ ta có $r-q=p+1>p$, điều này mâu thuẫn với $r-q<p$. Vậy $k$ không thể bằng $1$

$\cdot$ Nếu $k=3,$ ta có $r+q+1=6 \wedge 3=3(r-q)$

$\Leftrightarrow r=3\wedge q=2$

Vậy trong trường hợp này, ta có $p=2,q=2,r=3$


$2)$ Nếu $p>2$. Do $p\leq q< r$ và $p,q,r$ là số nguyên tố nên $p,q,r$ là số nguyên lẻ nên $k$ lẻ. Đặt $k=2m+1$. Thay vào $(\ast )$ trên ta có:

$r+q+1=(2m+1)p (3)\wedge p+1=(2m+1)(r-q)(4)$

Từ $(4)$ ta có $p=(2m+1)(r-q)-1.$ Thay vào $(3)$:

$q=-r-1+(2m+1)[(2m+1)(r-q)-1]$

$=-r-1+(4m^2+4m+1)(r-q)-2m-1$

$=-r-1+4m^2r-4m^2q+4mr-4mq+r-q-2m-1$

$=2m^2r-2m^2q+2mr-2mq-m-1$

$=2mr(m+1)-2mq(m+1)-(m+1)$

$=(m+1)(2mr-2mq-1)(5)$

Vì $q$ là số nguyên tố và $m+1>1$ nên từ $(5)$ ta có:

$2mr-2mq-1=1\Rightarrow m(r-q)=1\Rightarrow m=1\wedge r-q=1\Rightarrow m=1\wedge r=1+q(6)$

Do $r,q$ là các số nguyên tố lẻ nên từ $(6)$ suy ra vô lí. Trường hợp
này loại.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm nguyên tố duy nhất :$p=q=2,r-3$

________
to Huynhmylinh: nice!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-04-2012 - 22:16
Nice!

Hình đã gửi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh