$x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)(1)$
$\Leftrightarrow (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 = 2003^{2001}(x^3+y^3)$
$\Rightarrow (x^{1001})^2+(y^{1001})^2 \vdots 2003$
Mà:
$2003$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$
$\Rightarrow x^{1001} \vdots 2003;y^{1001} \vdots 2003$
mà 2003 là số nguyên tố $\Rightarrow x,y \vdots 2003$
đặt $:x=2003.k;y=2003.q(k,q \in Z)$
khi đó
$x^{2002}+ y^{2002} = 2003^{2001} (x^3 +y^3)$
$\Leftrightarrow 2003^{2002}.k^{2002}+2003^{2002}.q^{2002}$
$=2003^{2001}(2003^3.k^3+2003^3.q^3)$
$\Leftrightarrow 2003^{2001}.(2003.k^{2002}+2003.q^{2002})$
$=2003^{2001}(2003^3.k^3+2003^3.q^3)$
$\Leftrightarrow 2003.k^{2002}+2003.q^{2002}= 2003^3.k^3+2003^3.q^3$
$\Leftrightarrow 2003^2(k^3+q^3)=k^{2002}+q^{2002}$
Làm tương tự, ta có:
$k,q \vdots 2003$
$ \Rightarrow k=2003.m;q=2003.n$
Do đó
$2003^2(k^3+q^3)=k^{2002}+q^{2002}$
$\Leftrightarrow 2003^{2}(2003^3.m^3+2003^3.n^3)=2003^{2002}.m^{2002}+2003^{2002}.n^{2002}$
$\Leftrightarrow m^3+n^3=2003^{1997}(m^{2002}+n^{2002})$
$\Leftrightarrow 2003^{1997}(m^{2002}+n^{2002 })=m^3+n^3$
với mọi $m,n \in Z$
thì
$m^{2002}+n^{2002} > m^3+n^3$
nên $m=n=0 \Rightarrow x=y=0$
..................................................................................
Hic, làm bài này xong muốn ném con chuột vô màn hình @@
Có gì sai sót thì đợi mình mua chuột mới sẽ sửa