Chủ đề này có 4 trả lời

[Jasper3601]

TÌm số hạng tổng quát, biết: $$u_{n+1}=\frac{3u_{n}+1}{u_{n}+1}$$
--------------------------
Công thức toán được kẹp bởi cặp dấu $ bạn nhé.

$cong_thuc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-03-2012 - 15:08
$\LaTeX$ fixed

[tieulyly1995]

TÌm số hạng tổng quát, biết: $$u_{n+1}=\frac{3u_{n}+1}{u_{n}+1}$$

Ta có :
$u_{n+1}-( 1+\sqrt{2})=\frac{(2-\sqrt{2})u_{n}-\sqrt{2}}{u_{n}+1}=\frac{(2-\sqrt{2})(u_{n}-(1+\sqrt{2}))}{u_{n}+1}$

$u_{n+1}-( 1-\sqrt{2})=\frac{(2+\sqrt{2})u_{n}+\sqrt{2}}{u_{n}+1}=\frac{(2+\sqrt{2})(u_{n}-(1-\sqrt{2}))}{u_{n}+1}$

Do đó :
$\frac{u_{n+1}-(1+\sqrt{2})}{u_{n+1}-(1-\sqrt{2})}=(3-2\sqrt{2}).\frac{u_{n}-(1+\sqrt{2})}{u_{n}-(1-\sqrt{2})}$

Đặt : $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-(1+\sqrt{2})}{u_{n+1}-(1-\sqrt{2})}$

Ta có :
$v_{n+1}=(3-2\sqrt{2})v_{n}$

đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 12-03-2012 - 17:09

[phuonganh_lms]

Dạng tổng quát cho bài này:
Xác định CTSHTQ của dãy số $(U_n)$ với $U_{n+1}=\dfrac{aU_n+b}{cU_n+c}$ $ad-bc \neq 0, n\ge 1$ theo $U_1,a,b,c,d$

Xét phương trình $x=\dfrac{ax+b}{cx+d}(*)$ (PT điểm bất động)
TH1: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi đó ta tìm được 1 hằng số k để $\dfrac{U_n-x_1}{U_n-x_2}=k.\dfrac{U_{n-1}-x_1}{U_{n-1}-x_2}$
$U_n-x_1=\dfrac{aU_{n-1}+b}{cU_{n-1}+d}-x_1=\dfrac{aU_{n-1}+b}{cU_{n-1}+d}-\dfrac{ax_1+b}{cx_1+d}=\dfrac{(ad-bc)(U_{n-1}-x_1)}{(cU_{n-1}+d)(cx_1+d)}$
$U_n-x_2=\dfrac{(ad-bc)(U_{n-1}-x_2)}{(cU_{n-1}+d)(cx_2+d)}$
Nên $\dfrac{U_n-x1}{U_n-x_2}=\dfrac{cx_2+d}{cx_1+d}.\dfrac{U_{n-1}-x_1}{U_{n-1}-x_2}=k.\dfrac{U_{n-1}-x_1}{U_{n-1}-x_2}$ (với $k=\dfrac{cx_2+d}{cx_1+d}$)

Đặt $v_n=\dfrac{U_n-x_1}{U_n-x_2}\Leftrightarrow v_n=kv_{n-1}$
Từ đó áp dụng CSN, tìm được $v_n$ suy ra được $U_n$

TH2: Phương trình (*) có nghiệm kép $x_0$
Tương tự trên tìm được k để có $\dfrac{1}{U_n-x_0}=\dfrac{1}{U_{n-1}-x_0}+k$
Đặt $v_n=\dfrac{1}{U_n-x_0} \Leftrightarrow v_n=v_{n-1}+k$
Áp dụng CSC tìm được $v_n$ và suy được $U_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 01-04-2012 - 16:36

[harrypotter10a1]

nhưng đề có cho $ u_1 $ đâu

[E. Galois]

TH3: Phương trình (*) vô nghiệm. Bài toán trở nên khó. Tuy nhiên, trong trường hợp $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{-bu_n+a}$ ta có thể chia cả tử và mẫu cho $a$ và đặt $\frac{b}{a}=\tan\alpha;u_n=\tan v_n, \forall n$, ta có:
$\tan v_{n+1} = u_{n+1}=\frac{u_n+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}u_n}=\frac{\tan v_n+\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan v_n}=\tan (v_n + \alpha), \forall n$
Do đó $(v_n)$ là cấp số cộng công bội $\alpha$. Từ đó dễ dàng suy ra $u_n$