Chủ đề này có 2 trả lời

[josdang]

$$\int {\frac{{{x^4}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} dx$$
-------------------------------------
Bạn chú ý cách đặt tiêu đề bài viết nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-03-2012 - 15:03
title fixed

[Crystal]

$$\int {\frac{{{x^4}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} dx$$

Nguyên hàm đã cho viết thành: $\int {\frac{{{x^2}{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}dx} $. Sử dụng tích phân từng phần.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3} + 1}
\end{array} \right.$

Khi đó: \[\int {\frac{{{x^2}{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}dx} = \frac{2}{3}{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{4}{3}\int {x\sqrt {{x^3} + 1} } dx\]
Đặt $t = \sqrt {{x^3} + 1} \Rightarrow dt = \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 1} }}dx$

Suy ra: \[\int {x\sqrt {{x^3} + 1} } dx = \frac{2}{3}\int {\frac{{3\left( {{x^3} + 1} \right){x^2}}}{{2x\sqrt {{x^3} + 1} }}dx} = \frac{2}{3}\int {\frac{{{t^2}}}{{\sqrt[3]{{{t^2} - 1}}}}dt} \]
\[ = \frac{2}{3}\int {\left( {\frac{{{t^2} - 1 + 1}}{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}} \right)dt} = \frac{2}{3}\int {\left( {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}} \right)} dt\]
Đến đây thì chịu

[Hoanght]

Đặt $t=\sqrt{x^3+1}$ chắc là OK