Chủ đề này có 1 trả lời

[luuthong123]

Cho A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là:
$\large cos^2A+cos^2B+cos^2C-2=\frac{1}{4}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos(\frac{C-A}{2})$

[moonlight0610]

Cho A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là:
$\large cos^2A+cos^2B+cos^2C-2=\frac{1}{4}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos(\frac{C-A}{2})$

Bài này hình như có vấn đề rồi bạn ơi, đề đúng phải là $cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}-2=\frac{1}{4}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}$ nếu thế thì mình giải như sau:
Ta có: $cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}-2= \frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}-2$
=$1+cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-sin^{2}\frac{C}{2}-2$
=$2+sin\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2})-2$
=$2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Giả thiết đã cho tương đương với:
$8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}$
$\Leftrightarrow 64sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
=$8cos\frac{A-B}{2}sin\frac{A+B}{2}cos\frac{B-C}{2}sin\frac{B+C}{2}cos\frac{C-A}{2}sin\frac{C+A}{2}$
$\Leftrightarrow 8sinAsinBsinC=(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$
$\Leftrightarrow 8abc=(a+b)(b+c)(c+a)$
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ $\Rightarrow$ Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Vậy tam giác ABC đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonlight0610: 24-03-2012 - 17:21