$$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
China TST 2012
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho $$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
Bắt đầu bởi Crystal , 15-03-2012 - 17:11
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 17:11
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
Bài toán: Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho
$$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
$$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
#2
Đã gửi 01-04-2012 - 19:03
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)$.
Cho $x=a,y=b$ và $x=b,y=a$ vào đề bài, ta có:
$$f(a+b+f(b))=f(a)+nb=f(a+b+f(a))=f(b)+na$$
suy ra $a=b$ hay $f$ la 1 đơn ánh,
Cho $y=0$ suy ra $f(0)=0$
Cho $x=-y$ suy ra: $f(f(y))=f(-y)+ny$, suy ra $ f(f(-y))=f(y)-ny$
Cho $x=f(-y)$ suy ra :
$$f(y)=f(f(-y))+ny=f(f(-y)+y+f(y))$$
Do $f$ đơn ánh suy ra $f(y)+f(-y)=0$ hay $f$ là hàm lẻ suy ra :
$$f(f(y))+f(y)=ny$$ (ngay trên)
Cho $y=f(y)$ suy ra :
$$f(x+f(y)+f(f(y)))=f(x)+nf(y)=f(x+ny)$$
Cho $x=0$ suy ra $f(ny)=nf(y)$, và thay $x=nx$ suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$
suy ra $f(x)=xf(1)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$
......(sory vi nha minh ko co vietkey)
Cho $x=a,y=b$ và $x=b,y=a$ vào đề bài, ta có:
$$f(a+b+f(b))=f(a)+nb=f(a+b+f(a))=f(b)+na$$
suy ra $a=b$ hay $f$ la 1 đơn ánh,
Cho $y=0$ suy ra $f(0)=0$
Cho $x=-y$ suy ra: $f(f(y))=f(-y)+ny$, suy ra $ f(f(-y))=f(y)-ny$
Cho $x=f(-y)$ suy ra :
$$f(y)=f(f(-y))+ny=f(f(-y)+y+f(y))$$
Do $f$ đơn ánh suy ra $f(y)+f(-y)=0$ hay $f$ là hàm lẻ suy ra :
$$f(f(y))+f(y)=ny$$ (ngay trên)
Cho $y=f(y)$ suy ra :
$$f(x+f(y)+f(f(y)))=f(x)+nf(y)=f(x+ny)$$
Cho $x=0$ suy ra $f(ny)=nf(y)$, và thay $x=nx$ suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$
suy ra $f(x)=xf(1)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$
......(sory vi nha minh ko co vietkey)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-04-2012 - 19:11
- Zaraki yêu thích
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
