Chủ đề này có 1 trả lời

[YenThanh2]

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR
$\frac{ab}{c\left ( c+a \right )}+\frac{bc}{a\left ( a+b \right )}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.
Mọi người chỉ bào giùm, mình kém BĐT quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-03-2012 - 20:17

[Crystal]

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR
$\frac{ab}{c\left ( c+a \right )}+\frac{bc}{a\left ( a+b \right )}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.
Mọi người chỉ bào giùm, mình kém BĐT quá

Bất đẳng thức đã cho tương đương
$$\frac{a}{{c + a}}\left( {\frac{b}{c} - 1} \right) + \frac{b}{{a + b}}\left( {\frac{c}{a} - 1} \right) + \frac{c}{{b + c}}\left( {\frac{a}{b} - 1} \right) \ge 0$$
$$\iff\frac{1}{{\frac{c}{a} + 1}}\left( {\frac{b}{c} - 1} \right) + \frac{1}{{\frac{a}{b} + 1}}\left( {\frac{c}{a} - 1} \right) + \frac{1}{{\frac{b}{c} + 1}}\left( {\frac{a}{b} - 1} \right) \ge 0$$
Đặt ${\rm{x}} = \frac{a}{b} > 0;\,\,\,\,y = \frac{b}{c} > 0;\,\,z = \frac{c}{a} > 0\,\,\, \Rightarrow x.y.z\, = \,1$
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành $$\frac{{x - 1}}{{y + 1}} + \frac{{y - 1}}{{z + 1}} + \frac{{z - 1}}{{x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + xy^2 + yz^2 + z{\rm{x}}^2 - x - y - z \ge 0$$
Do $x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\left( {x + y + z} \right)^2 \ge \sqrt[3]{{xyz}}\left( {x + y + z} \right) = x + y + z$
Và $xy^2 + yz^2 + z{\rm{x}}^2 \ge 3\sqrt[3]{{\left( {xyz} \right)^3 }} = 3$
Nên BĐT trên đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z \iff a=b=c$. Khi đó tam giác này đều. $\blacksquare$