Chứng minh rằng, với mọi $a, b, c$ dương, ta có :
$$\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{c + a}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$
$$\sum{\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} }\ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$
Bắt đầu bởi Tham Lang, 15-03-2012 - 23:21
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 23:21
#2
Đã gửi 16-03-2012 - 15:17
Chứng minh rằng, với mọi $a, b, c$ dương, ta có :
$$\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{c + a}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$
BĐT : $ \Leftrightarrow \sum (\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}-\frac{a+b+c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}+b^{2})(a+b+c)}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{a^{2}+b^{2}}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum (\frac{ca(c-a)}{a^{2}+b^{2}}+\frac{ac(a-c)}{b^{2}+c^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum ac(a-c)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum ac(a-c)\frac{a^{2}-c^{2}}{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{ac(a-c)^{2}(a+c)}{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq 0$ .
( luôn đúng ).
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 16-03-2012 - 15:18
- Tham Lang, yeutoan11 và Mai Duc Khai thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh