Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$\sum{\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} }\ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 15-03-2012 - 23:21

Chứng minh rằng, với mọi $a, b, c$ dương, ta có :
$$\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{c + a}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 16-03-2012 - 15:17

Chứng minh rằng, với mọi $a, b, c$ dương, ta có :
$$\dfrac{a + b}{a^2 + b^2} + \dfrac{b + c}{b^2 + c^2} + \dfrac{c + a}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{3\left (a + b + c\right )}{a^2 + b^2 + c^2}$$




BĐT : $ \Leftrightarrow \sum (\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}-\frac{a+b+c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}+b^{2})(a+b+c)}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{a^{2}+b^{2}}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum (\frac{ca(c-a)}{a^{2}+b^{2}}+\frac{ac(a-c)}{b^{2}+c^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum ac(a-c)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}})\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum ac(a-c)\frac{a^{2}-c^{2}}{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq 0$
$ \Leftrightarrow \sum \frac{ac(a-c)^{2}(a+c)}{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq 0$ .
( luôn đúng ).
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c$
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 16-03-2012 - 15:18





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh