Đến nội dung

Hình ảnh

$$\dfrac{1}{a^2 - bc + 1} + \dfrac{1}{b^2 - ca + 1} + \dfrac{1}{c^2 - ab + 1} \le 3$$

Tặng những ĐHV mới .

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Cho các số thực dương $a, b, c$ sao cho $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$
. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^2 - bc + 1} + \dfrac{1}{b^2 - ca + 1} + \dfrac{1}{c^2 - ab + 1} \le 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 15-03-2012 - 23:27

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
hung0503

hung0503

    benjamin wilson

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Cho các số thực dương $a, b, c$ sao cho $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$
. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^2 - bc + 1} + \dfrac{1}{b^2 - ca + 1} + \dfrac{1}{c^2 - ab + 1} \le 3$$


$\frac{a^2-bc}{a^2-bc+1}+\frac{b^2-ac}{b^2-ac+1}+\frac{c^2-ab}{c^2-ab+1}\geq 0$

Theo Cauchy Schwarz ta có

$\sum \frac{a^2-bc}{a^2-bc+1}=\sum \frac{(a^2-bc)^2}{(a^2-bc)^2+a^2-bc}\geq 0$

Ko biết sao nhưng mình ko dùng giả thiết ><

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 20-03-2012 - 03:24

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

Hình đã gửi


#3
Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

$\frac{a^2-bc}{a^2-bc+1}+\frac{b^2-ac}{b^2-ac+1}+\frac{c^2-ab}{c^2-ab+1}\geq 0$

Theo Cauchy Schwarz ta có

$\sum \frac{a^2-bc}{a^2-bc+1}=\sum \frac{(a^2-bc)^2}{(a^2-bc)^2+a^2-bc}\geq 0$

Ko biết sao nhưng mình ko dùng giả thiết ><

Sai rồi còn đâu mà không dùng giả thiết. Điều kiện để Cauchy-Schwarz là dưới mẫu cũng phải dương mà trong khi $(a^{2}-bc)^{2}+(a^{2}-bc)$ đâu có dương

#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Cho các số thực dương $a, b, c$ sao cho $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$
. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^2 - bc + 1} + \dfrac{1}{b^2 - ca + 1} + \dfrac{1}{c^2 - ab + 1} \le 3$$


Lời giải:
Ta có: $$a^2-bc+1=a^2-bc+3(ab+bc+ac)=a(a+b+c)+2(ab+bc+ac)=a(a+b+c)+\frac{2}{3}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$\frac{1}{a(a+b+c)+\frac{2}{3}}+\frac{1}{b(a+b+c)+\frac{2}{3}}+\frac{1}{c(a+b+c)+\frac{2}{3}}\le 3$$
$$\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{a(a+b+c)+\frac{2}{3}}+\frac{b}{b(a+b+c)+\frac{2}{3}}+\frac{c(a+b+c)}{c(a+b+c)+\frac{2}{3}}\geq \frac{1}{a+b+c}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$[\sum a(a(a+b+c))+\frac{2}{3}][\sum \frac{a}{a(a+b+c)+\frac{2}{3}}]\geq (a+b+c)^2$$
Ta lại có: $$\sum a(a(a+b+c)+\frac{2}{3})=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+\frac{2}{3}(a+b+c)$$
$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)=(a+b+c)^3$$
Vậy ta có điều cần chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=0;b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và các hoán vị $\blacksquare$
_______
Phù gõ mệt thật :P

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Thấy Kiên giải nhìn phê nhỉ :D Bài này thật ra chỉ cần biến đổi ra như thế này là được rồi :D
$$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1} \ge \frac{1}{a+b+c}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a(a^2-bc+1)}=\frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)+1}=\frac{1}{a+b+c}=VP$$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh