Cho các số dương $a, b , c$ . Chứng minh :
$$\dfrac{a\left (b^2 + c^2\right )}{b + c} + \dfrac{b\left (c^2 + a^2\right )}{c + a} + \dfrac{c\left (a^2 + b^2\right)}{a + b} \le a^2 + b^2 + c^2$$
$$\sum{\dfrac{a\left (b^2 + c^2\right )}{b + c} } \le a^2 + b^2 + c^2 $$
Bắt đầu bởi Tham Lang, 15-03-2012 - 23:35
#1
Đã gửi 15-03-2012 - 23:35
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#2
Đã gửi 18-03-2012 - 20:53
Sử dụng 1 chút thêm bớt,ta có BĐT:Cho các số dương $a, b , c$ . Chứng minh :
$$\dfrac{a\left (b^2 + c^2\right )}{b + c} + \dfrac{b\left (c^2 + a^2\right )}{c + a} + \dfrac{c\left (a^2 + b^2\right)}{a + b} \le a^2 + b^2 + c^2$$
$$\iff 2\sum ab -\sum a^2 \le 2abc\left(\sum \frac{1}{a+b} \right)$$
Theo Schur bậc 3:
$$2\sum ab -\sum a^2 \le \frac{9abc}{a+b+c}$$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{9}{2(a+b+c)} \le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}(abc>0)$$
Đúng theo Cauchy-Schwarz
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
P/s:Thật ra bài này còn 1 dấu đẳng thức nữa là $a=0;b=c$ hay các hoán vị tương ứng,nhưng do em cho $a,b,c>0$ nên chỉ còn 1 dấu đẳng thức thôi
- Tham Lang yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#3
Đã gửi 09-04-2021 - 11:16
$VT-VP=\sum_{cyc}\frac{-bc(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}\leqq 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh