Chủ đề này có 23 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

BTC yêu cầu MSS05 ra đề vào topic này. Sau khi đánh máy đề, phải nhấn nút Chấp nhận để để được hiện lên.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

b. Luật Loại trực tiếp:
Luật chỉ áp dụng khi có nhiều hơn 20 toán thủ tham gia thi đấu.
- Sau mỗi trận, toán thủ có số điểm ít nhất sẽ bị loại. Trong trường hợp có nhiều toán thủ cùng điểm số ít nhất, toán thủ nào có thời gian bỏ thi đấu dài nhất sẽ bị loại.
- Toán thủ bị loại sẽ không đuợc đăng kí lại
- Khi Chỉ còn 20 toán thủ, Luật này ko còn hiệu lực

BTC lưu ý, trận 5 có 24 toán thủ tham gia nên sau trận này, toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

[Secrets In Inequalities VP]

Đề bài : Cho x ,y ,z nguyên duong thỏa mãn :
$ x^{4}+y^{4}+z^{4}= 1984-104x$
Hỏi : Số $ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ có thể viết duoi dạng $ a+a^{2}$ vs a là số tụ nhiên đc không ?

Do sự cố kĩ thuật nên thời gian ra đề được tính là lúc 22h19 17/3/2012.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:41

[Cao Xuân Huy]

Đề bài : Cho x ,y ,z nguyên duong thỏa mãn :
$ x^{4}+y^{4}+z^{4}= 1984-104x$
Hỏi : Số $ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ có thể viết duoi dạng $ a+a^{2}$ vs a là số tụ nhiên đc không ?

Bổ đề:

+ Nếu 1 số $a\in \mathbb{N}$ chia hết cho 2 thì $a=2k \Rightarrow a^4=16k^4 \vdots 4$ ($k \in \mathbb{N}$)

+ Nếu $a\in \mathbb{N}$ và $a$ không chia hết cho a X thì $a=2k\pm1 \Rightarrow a^4\equiv 1 (\bmod 4)$
_________________________________

Ta có: $x>0$ nên $1984-104x\le 1984$.

Mà vế trái là tổng 3 số dương nên: $x^4\le 1984 \Rightarrow x\le6$.

Tương tự: $y\le 6; z\le 6$.

Ta có: $VP \vdots 4$ nên $VT \vdots 4$. Mà theo bổ đề thì cả 3 số $x,y,z$ đều chẵn.

Suy ra: $x,y,z \in \{2,4,6\}$

Ta có:

+ Nếu $x=2$ thì $y^4+z^4=1760$

Thay $y$ bởi các giá trị $2;4;6$ thì ta có các giá trị $z^4$ lần lượt là $1744;1504;464$.

Nhưng ba giá trị này không phải mũ bốn của số tự nhiên nên loại.

+ Nếu $x=4$ thì $y^4+z^4=1312$.

Thử tương tự trường hợp trên ta có:

\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\{z^4} = 1296\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\
{z^4} = 1056\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 6\\{z^4} = 16\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 6\\z = 2
\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Nếu $x=6 \Rightarrow y^4+z^4=64$.

Nếu $y,z$ có 1 số lớn hơn 2 thì $VT\ge 256>54$. Do đó: $y=z=2$.

Mà thử lại không thỏa nên loại.

Do đó: $(x;y;z)=(4;2;6)$ hay $(x;y;z)=(4;6;2)$

Ta có: $20^4+11^2-1969^6<20^4+11^6-1969^2=-1945400$.

Do đó: $A+1$ là số nguyên âm.

Mà $a^2+a+1>0$ nên $A$ không thể viết dưới dạng $a+a^2$ với $a\in \mathbb{N}$

Viết sai một chút trong bổ đề. Và nên chứng minh bổ đề.
D-B=0.8h
E=10
F=0
S=77.2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:45

[Cuong Ngyen]

Bài làm của em:
Nhận thấy VP chia hết cho 8
=> VT chia hết cho 8.
Xét modun cho 8, $x^4$ chia 8 dư 0;1.
Tương tự: $y^4$; $z^4$ chia 8 dư 0;1.
=> $x^4$; $y^4$; $z^4$ mỗi số phải chia hết cho 8.
Đặt x=8k; y=8q; z=8p (k;q;p thuộc N) X
PT
<=> $4096.(k^4+q^4+p^4)=1984-104.8k $
<=> $64.(k^4+q^4+p^4)=31-13k $
Nhận thấy VT chia hết cho 64; VP không chia hết cho 64 với k tự nhiên.
=> PT vô nghiệm.

Vậy số A không thể viết được ở dạng đó.

$x^4 \vdots 8$ thì chưa chắc $x \vdots 8$. Em cho $x=2$ xem.
S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:45

[sherlock holmes 1997]

Vì 1984;104 đều chia hết cho 4;x là số nguyên dương nên 1984-104x chia hết cho 4.
$\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho 4.
Mà $x^{4};y^{4};z^{4}$ khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1 với mọi x;y;z nguyên dương
$\Rightarrow$ để $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho 4 thì $x^{4};y^{4};z^{4}$ đều chia hết cho 4.
Khi đó x;y;z là các số chẵn.Ta có:
-Vì 20 chia cho 3 dư 2 nên $20^{x}$ chia cho 3 dư 1 với mọi x là số nguyên dương chẵn. X
-Vì 11 chia cho 3 dư 2 nên $11^{y}$ chia cho3 dư 1 với mọi y là số nguyên dương chẵn. X
-Vì 1969 chia cho 3 dư 1 nên $1969^{z}$ chia cho 3 dư 1 với mọi z là số nguyên dương.
Vậy $A=20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ chia cho 3 dư 1. (1)
Lại có $a+a^{2}=a(a+1)$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp với mọi a là số tự nhiên,và tích 2 số tự nhiên liên tiếp khi chia cho 3 dư 0 hoặc 2. (2)
Từ (1) và (2) ta thấy A không thể viết được dưới dạng $a+a^{2}$ với a là số tự nhiên.

Chỗ dấu X, em nên chú ý là không nên viết vậy. Tại sao không ghi là "20 chia 3 dư -1"? Ghi thế thì lời giải sẽ rõ ràng hơn.
D-B=8.7
E=9.5
F=0
S=67.8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:48

[Nguyễn Hữu Huy]

Đề bài : Cho x ,y ,z nguyên duong thỏa mãn :
$ x^{4}+y^{4}+z^{4}= 1984-104x$
Hỏi : Số $ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ có thể viết duoi dạng $ a+a^{2}$ vs a là số tụ nhiên đc không ?

Do sự cố kĩ thuật nên thời gian ra đề được tính là lúc 10h19 17/3/2012.

Ta có bổ đề sau

$t^4 \equiv 0 (mod..4)$ hoặc $t^4 \equiv 1 (mod..4)$ với t là số nguyên

Chứng minh :
t là số nguyên thì t có các dạng t= 4r ; t = 4r + 1 ; t = 4r + 2 ; t = 4r + 3 (r nguyên)

Khi đó
$t^4$ sẽ có các dạng
$t^4 = 16r^2 \equiv 0 (mod 4)$
$t^4 = 16r^2 + 8r + 1 \equiv 1 (mod 4) $
$t^4 = 16r^2 + 16r + 4 \equiv 0 (mod 4)$
$t^4 = 16r^2 + 24r + 9 \equiv 1(mod 4)$
Bổ đề đc chứng minh .

Quay trở lại bài toán
Ta có
$x^4 ; y^4 ; z^4 \equiv 0 ; 1 (mod 4)$

Mà $ x^4 + y^4 + z^4 = 1984- 104x$

Thấy $VP \vdots 4$

$\Rightarrow x^4 + y^4 + z^4 \vdots 4$
Lần lượt xét các TH
Ta thấy chỉ có TH $x^4 ; y^4 ; z^4$ đồng thời chia hết 4 mới t/m điều trên

Từ đó suy ra x ; y ; z đồng thời chia hết cho 2

KHi đó
Đặt
$x = 2b$
$y = 2c$
$z = 2d$
Với b , c , d nguyên
KHi đó :
$16b^4 + 16c^4 + 16d^4 = 1984 - 104.2b $

Chia 2 vế với 16

$b^4 + c^4 + d^4 = 124 - 13b$

Do b là số nguyên dương
nên b < 4
Xét các TH b = {1 ; 2 ; 3}
Thì được 2 kết quả X
b = 2 ; c = 1 ; d = 3
hoặc
b = 2 ; c = 3 ; d = 1

Khi đó
$x = 4 ; y = 2 ; z = 6$

Hoặc $x = 4 ; y = 6 ; z = 2$

Khi đó
$A = 20^3 + 11^6 - 1969^2 < -\dfrac{1}{4}$

Và

$A = 20^3 + 11^2 - 1969^6 < -\dfrac{1}{4}$

Mà $a^2 - a \geq -\dfrac{1}{4}$

Nên $a^2 - a > A$ (với cả 2 TH)

Vậy ko thể viết A dưới dạng $a^2 + a$

Nên viết rõ hơn tại sao có kết quả a=?;b=?;c=?
D-B=9.7h
E=9
F=0
S=65.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:53

[nth1235]

Em xin được phép giải bài.
$ {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} = 1984 - 104x$ (1)
$\Leftrightarrow {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} + 104x = 1984$
Vì $x , y , z $ là các số nguyên dương nên
$ {x}^{4} < 1984 ; {y}^{4} < 1984 ; {z}^{4} < 1984 ; 104x < 1984$
$\Rightarrow x \leq 6 ; y \leq 6 ; z \leq 6 $
$ (1) \Leftrightarrow {z}^{4} = 1984 - 104x - ({x}^{4} + {y}^{4})$
Vì $ {z}^{4}$ là số chính phương nên ${z}^{4} \equiv 0 ; 1$ (mod 4)
hay $ 1984 - 104x - ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0 ; 1$ (mod 4) (2)
Mặt khác, $1984 - 104x \equiv 0$ (mod 4)
Cũng do ${x}^{4} ; {y}^{4}$ là các số chính phương nên :
$ - ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0 ; 2 ;3 $ (mod 4) (3)
Từ (2) ; (3) suy ra $- ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0$ (mod 4)
$ \Rightarrow x \equiv 0$ (mod 4); X
$ y \equiv 0$ (mod 4); X
Mà $x \leq 6 ; y \leq 6$ (cmt)
Suy ra có những cặp số sau thỏa mãn cả hai điều kiện trên :
$ (x ; y) = $ (2;2) ; (2;4) ; (2;6) ; (4;2) ; (4;4) ; (4;6) ; (6;2) ; (6;4) ; (6;6)
Thử lại, chỉ có cặp số (4;2) thỏa mãn đề bài sao cho $z$ nguyên dương.
Khi đó, $z = 6$
$A = {20}^{4} + {11}^{2} - {1969}^{6} < 0$
Mà ${a}^{2} + a \geq 0$ (Do a là số tự nhiên)
Suy ra A không thể viết dưới dạng ${a}^{2} + a $ với a là số tự nhiên.
Vậy A không thể viết dưới dạng ${a}^{2} + a $ với a là số tự nhiên.
Ps : Sao mấy bạn ko ra đề về chứng minh chia hết hay số học mà toàn ra đề về pt nghiệm nguyên k vậy ??

Chú ý ở chỗ X, khi viết phải cẩn thận.
D-B=11.1h
E=8
F=0
S=60.9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 21:03

[minhtuyb]

Cứ chém bừa đã, sai thì fix sau
Bài làm của minhtuyb:
$x^4+y^4+z^4=1984-104x(1)$
-Vì $x,y,z\geq 1$ nên:
$x^4=1984-104x-y^4-z^4<1984-104-1-1=1878\Rightarrow x<\sqrt[4]{1878}\Rightarrow x\leq 6$
Tương tự ta giới hạn được $x;y;z\in [1;6]$
*Lập bảng xét modulo 13 của $a^4$:
+Với $a\equiv 1(mod 13)\to a^4\equiv 1(mod 13)$
+Với $a\equiv 2(mod 13)\to a^4\equiv 3(mod 13)$
+Với $a\equiv 3(mod 13)\to a^4\equiv 3(mod 13)$
+Với $a\equiv 4(mod 13)\to a^4\equiv 9(mod 13)$
+Với $a\equiv 5(mod 13)\to a^4\equiv 1(mod 13)$
+Với $a\equiv 6(mod 13)\to a^4\equiv 9(mod 13)$ (Chỉ xét tới $a\equiv 6(mod 13)$ vì $x;y;z\in [1;6]$)
-$VP(1)\equiv 8(mod 13)$
-Có $x^4;y^4;z^4\equiv 0;1;3;9(mod 13)$, ta chọn được các cách sau để$VT=VP\equiv 8(mod 13)$ là:
$*TH1:\left\{\begin{matrix}x^4\equiv 9(mod 13)\\ y^4(z^4)\equiv 9(mod 13)\\ z^4(y^4)\equiv 3(mod 13)\end{matrix}\right.$( chỗ "mở ngoặc" tức là vai trò y,z như nhau)
-Vì $x^4;y^4\equiv 9(mod 13)$ nên theo bảng modulo, có:
$x;y(z) \equiv 4;6(mod 13)\Rightarrow x;y(z)\in \left \{ 4;6 \right \}$(Theo cách chặn)
-Với $x=4,(1)\Leftrightarrow y^4+z^4=1312$.Ta chọn được: $(y;z)=(2;6);(6;2)$ thỏa mãn
-Với $x=6,(1)\Leftrightarrow y^4+z^4=64$. Ta không chọn được giá trị $(y;z)$ thỏa mãn
$*TH2:\left\{\begin{matrix}x^4\equiv 3(mod 13)\\ y^4\equiv 9(mod 13)\\ z^4\equiv 9(mod 13)\end{matrix}\right.$. Xét bảng tương tự có:
$\left\{\begin{matrix}x\in \left \{ 2;3 \right \}\\ y,z\in\left \{ 4;6 \right \}\end{matrix}\right.$
-Với $x=2,(1)\Leftrightarrow y^4+z^4=1760$.Ta không chọn được giá trị $(y;z)$ thỏa mãn
-Với $x=3,(1)\Leftrightarrow y^4+z^4=1591$. Ta không chọn được giá trị $(y;z)$ thỏa mãn
$\to$Trường hợp này ta không tìm được bộ số $(x;y;z)$ nào thỏa mãn (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương $(4;2;6);(4;6;2)$
*Với $x=4;y=2;z=6\Rightarrow A=20^4+11^2-1969^6<0$ nên không thể viết dưới dạng $a^2+a(a\in N)$
*Với $x=4;y=6;z=2\Rightarrow A=20^4+11^6-1969^2=-1945400<0$ nên không thể viết dưới dạng $a^2+a(a\in N)$
K/L: Số $A=20^x+11^y-1969^z$ không thể viết dưới dạng $a^2+a(a\in N)$ với x,y,z nguyên dương thỏa mãn (1)

D-B=13.4h
E=10
F=0
S=64.6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:55

[phantomladyvskaitokid]

$x^4+y^4+z^4=1984-104x$

với các số nguyên dương x, y, z:

$1984-104x \vdots 8 \Rightarrow x^4+y^4+z^4 \vdots 8$

$\Rightarrow$ trong 3 số chính phương $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn hoặc 3 số cùng chẵn

mặt khác dễ thấy nếu trong 3 số $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì $x^4+ y^4+ z^4$ chia 8 dư 2 (mâu thuẫn) X

do đó $x^4, y^4, z^4$ đều chẵn $\Rightarrow$ x, y, z chẵn

suy ra

$20^x\equiv (-1)^x (mod3) \Rightarrow 20^x\equiv 1 (mod3)$

$11^y\equiv (-1)^y (mod3) \Rightarrow 11^y\equiv 1 (mod3)$

$1969^z\equiv 1^z (mod3) \Rightarrow -1969^z\equiv -1 (mod3)$

như vậy $A=20^x+11^y+1969^z \equiv 1(mod3) \Rightarrow 4A \equiv 1 (mod3)\Rightarrow 4A+1 \equiv 2(mod3)$ (1)

giả sử A có thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

$\Rightarrow 4A+1 =4a^2+4a+1=(2a+1)^2$ là số chính phương $\Rightarrow 4A+1$ chia 3 dư 0 hoặc 1 (mâu thuẫn với (1))

do đó điều giả sử sai

Vậy A ko thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

Chỗ X lý luận không "đẹp"
D-B=14.2h
E=9
F=0
S=60.8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:56

[nthoangcute]

Mình sẽ làm bài này nhưng cách hơi dài:
_____________________________________________
Ta có:
Bổ đề: Lũy thừa bậc 4 của một số nguyên chẵn thì chia 4 dư là 0
Lũy thừa bậc 4 của một số nguyên lẻ thì chia 4 dư là 1.
Chứng minh bổ đề : Xét số nguyên $a$ thì:
Nếu $a$ chẵn, $a$ có dạng $2k$ ($k$ nguyên), do đó: $a^4=16k$ chia 4 dư 0
Nếu $a$ lẻ, $a$ có dạng $2t+1$ ($t$ nguyên), do đó: $a^4=8t(t+1)(2t^2+2t+1)$ chia 4 dư 1
_____________________________________________
Trở lại với bài toán:
Theo giả thiết thì $x^4+y^4+z^4=1984-104x \vdots 4$
Mà $x, y, z$ là các số nguyên dương, $x^4, y^4, z^4$ chia 4 dư 0 hoặc 1, do đó $x^4, y^4, z^4 \vdots 4$ hay $x, y, z$ chẵn
Đặt: $x=2 x_1, y=2 y_1, z=2 z_1$ ($x_1, y_1, z_1$ là các số nguyên dương)
Do đó, từ giả thiết ta có:
$x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1=124$

Xét $x_1 \geq 4$ thì $x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1>256>124$

Xét $x_1=3$ thì $y_1^4+z_1^4=4 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{4}<2 \Rightarrow y_1=1$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)
từ đó $z_1^4=3$ (vô lý)

Xét $x_1=2$ thì $y_1^4+z_1^4=82 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{82}<4 \Rightarrow y_1 \leq 3$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)
Nếu $y_1=3$ thì $z_1=1$ (thỏa mãn)
Nếu $y_1=2$ thì $z_1=\sqrt[4]{66}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=1$ thì $z_1=3$ (thỏa mãn)

Xét $x_1=1$ thì $y_1^4+z_1^4=110 \Rightarrow y_1 < \sqrt[4]{110}<4 \Rightarrow y_1 \leq 3$ (vì $y_1$ là số nguyên dương)

Nếu $y_1=3$ thì $z_1=\sqrt[4]{29}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=2$ thì $z_1=\sqrt[4]{94}$ (không thỏa mãn)
Nếu $y_1=1$ thì $z_1=\sqrt[4]{109}$ (không thỏa mãn)

Tóm lại:
PT: $x_1^4+y_1^4+z_1^4+13x_1=124$ có các nghiệm nguyên là ($x_1,y_1,z_1$)={(2,3,1) ; (2;1;3)}
Hay PT $x^4+y^4+z^4=1984-104x$ có các nghiệm nguyên là ($x,y,z$)={(4,6,2) ; (4;2;6)}
__________________________________________________________
Khi đó: Giả sử A viết dưới dạng được $a+a^2$ ($a$ là số tự nhiên)

Nếu $x=4$, $y=2$, $z=6$ thì $A=20^x+11^y-1969^z=20^4+11^2-1969^6<1969^4+1969^4-1969^6=2.1969^4-1969^6<1969^6-1969^6<0$
Suy ra $A<0$ mà $A=a+a^2>0$ (vì $a$ là số tự nhiên) suy ra vô lý !!!

Nếu $x=4$, $y=6$, $z=2$ thì $A=20^x+11^y-1969^z=20^4+11^6-1969^2<160000+1771561-1900^2<2000000-3610000<0$
Suy ra $A<0$ mà $A=a+a^2>0$ (vì $a$ là số tự nhiên) suy ra vô lý !!!
___________________________________________________________
Tóm lại: A không viết dưới dạng được $a+a^2$ ($a$ là số tự nhiên)

D-B=21.1h
E=10
F=0
S=53.9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 20:59

[daovuquang]

Ta có: $x^4+y^4+z^4+104x=1984 (1)$
$\Rightarrow 1\leq x^4,y^4,z^4<1984\Rightarrow 1\leq x,y,z\leq6.$
Mặt khác, ta nhận thấy $(1984-104x)\vdots4$ mà $x^4,y^4,z^4$ chia cho $4$ chỉ dư $0$ hoặc $1\Rightarrow x^4,y^4,z^4\vdots4\Rightarrow x,y,z\vdots2\Rightarrow x,y,z \in \left{ {2;4;6} \right\}.$ X
Vì $A$ là số tự nhiên$\Rightarrow 20^x+11^y\geq 1969^z\Rightarrow z\leq 2\Rightarrow z=2.$ Mặt khác $x=6$.(nếu $x<6$ thì $20^x+11^y\leq 20^4+11^6<1969^2$, loại)
Xét các trường hợp:
$*y=6\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=3232>1984.$(loại)
$*y=4\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=2192>1984.$(loại)
$*y=2\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=1952<1984.$(loại)
Vậy $A$ không thể viết dưới dạng $a+a^2$ với $a$ là số tự nhiên.

Từ chỗ X trở về sau, lời giải không đúng.
D-B=21.6h
E=3
F=0
S=35.4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 21:02

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các bạn chém gió bài làm của nhau

[Bong hoa cuc trang]

Do đó: $(x;y;z)=(4;2;6)$ hay $(x;y;z)=(4;6;2)$

Nhưng cái ngoặc tròn trong đây là gì hả anh Huy ?
P/s: Các anh onl đêm siêu vậy ? Không bị ba mẹ la à ?

[Cao Xuân Huy]

Nhưng cái ngoặc tròn trong đây là gì hả anh Huy ?
P/s: Các anh onl đêm siêu vậy ? Không bị ba mẹ la à ?

Chỉ các bộ số đấy em. $(x;y;z)=(4;6;2)$ có nghĩa là $x=4;y=6;z=2$

[sherlock holmes 1997]

Bài bạn Cuong Ngyen sai rồi.Sao x,y,z lại chia hết cho 8?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sherlock holmes 1997: 19-03-2012 - 13:34

[nth1235]

Em xin được phép giải bài.
$ {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} = 1984 - 104x$ (1)
$\Leftrightarrow {x}^{4} + {y}^{4} + {z}^{4} + 104x = 1984$
Vì $x , y , z $ là các số nguyên dương nên
$ {x}^{4} < 1984 ; {y}^{4} < 1984 ; {z}^{4} < 1984 ; 104x < 1984$
$\Rightarrow x \leq 6 ; y \leq 6 ; z \leq 6 $
$ (1) \Leftrightarrow {z}^{4} = 1984 - 104x - ({x}^{4} + {y}^{4})$
Vì $ {z}^{4}$ là số chính phương nên ${z}^{4} \equiv 0 ; 1$ (mod 4)
hay $ 1984 - 104x - ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0 ; 1$ (mod 4) (2)
Mặt khác, $1984 - 104x \equiv 0$ (mod 4)
Cũng do ${x}^{4} ; {y}^{4}$ là các số chính phương nên :
$ - ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0 ; 2 ;3 $ (mod 4) (3)
Từ (2) ; (3) suy ra $- ({x}^{4} + {y}^{4}) \equiv 0$ (mod 4)
$ \Rightarrow x \equiv 0$ (mod 4);
$ y \equiv 0$ (mod 4);
Mà $x \leq 6 ; y \leq 6$ (cmt)
Suy ra có những cặp số sau thỏa mãn cả hai điều kiện trên :
$ (x ; y) = $ (2;2) ; (2;4) ; (2;6) ; (4;2) ; (4;4) ; (4;6) ; (6;2) ; (6;4) ; (6;6)
Thử lại, chỉ có cặp số (4;2) thỏa mãn đề bài sao cho $z$ nguyên dương.
Khi đó, $z = 6$
$A = {20}^{4} + {11}^{2} - {1969}^{6} < 0$
Mà ${a}^{2} + a \geq 0$ (Do a là số tự nhiên)
Suy ra A không thể viết dưới dạng ${a}^{2} + a $ với a là số tự nhiên.
Vậy A không thể viết dưới dạng ${a}^{2} + a $ với a là số tự nhiên.
Ps : Sao mấy bạn ko ra đề về chứng minh chia hết hay số học mà toàn ra đề về pt nghiệm nguyên k vậy ??

Quên mất cái hoán vị của y với z. Đời ta xem như tàn......

[minhtuyb]

Vì 1984;104 đều chia hết cho 4;x là số nguyên dương nên 1984-104x chia hết cho 4.
$\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho 4.
Mà $x^{4};y^{4};z^{4}$ khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1 với mọi x;y;z nguyên dương
$\Rightarrow$ để $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia hết cho 4 thì $x^{4};y^{4};z^{4}$ đều chia hết cho 4.
Khi đó x;y;z là các số chẵn.Ta có:
-Vì 20 chia cho 3 dư 2 nên $20^{x}$ chia cho 3 dư 1 với mọi x là số nguyên dương chẵn.
-Vì 11 chia cho 3 dư 2 nên $11^{y}$ chia cho3 dư 1 với mọi y là số nguyên dương chẵn.
-Vì 1969 chia cho 3 dư 1 nên $1969^{z}$ chia cho 3 dư 1 với mọi z là số nguyên dương.
Vậy $A=20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ chia cho 3 dư 1. (1)
Lại có $a+a^{2}=a(a+1)$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp với mọi a là số tự nhiên,và tích 2 số tự nhiên liên tiếp khi chia cho 3 dư 0 hoặc 2. (2)
Từ (1) và (2) ta thấy A không thể viết được dưới dạng $a+a^{2}$ với a là số tự nhiên.

Có lẽ đây là lời giải đúng của bài này (Theo ý tưởng của MSS 5 )
Thây đa số các ae tìm nghiệm rồi ghép vô, chắc cũng được chấp nhận chứ nhỉ

[minhtuyb]

Vậy mời bạn Secrets In Inequalities VPra đáp án

[Secrets In Inequalities VP]

Đáp án:

Các số $ x^{4};y^{4};z^{4}$ chia 4 du 0 hoặc 1 mà $ (1984-104x)\vdots4$ suy ra $(x^{4}+y^{4}+z^{4})\vdots4$
Do đó $ x^{4};y^{4};z^{4}$ chia hết cho 4 suy ra x,y,z chẵn .
$ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}= [20^{x}-(-1)^{x}]+[11^y-(-1)^{y}]$ $ -(1969^{z}-1^{z})$ +1
Vì $ (a^{n}-b^{n})\vdots(a-b)$ nên $ (20^{x}-(-1)^{x})\vdots21\vdots3$
$ (11^{y}-(-1)^{y})\vdots12\vdots3$ , $ (1969^{z}-1^{z})\vdots1968\vdots3$
suy ra A chia 3 du 1
Mà $ a+a^{2}= a(a+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia 3 du 0 hoặc 2.
Vậy Số $ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ ko thể viết duoi dạng $ a+a^{2}$ vs a là số tụ nhiên .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 19-03-2012 - 19:54

[perfectstrong]

Đáp án:

Các số $ x^{4};y^{4};z^{4}$ chia 4 du 0 hoặc 1 mà $ (1984-104x)\vdots4$ suy ra $(x^{4}+y^{4}+z^{4})\vdots4$
Do đó $ x^{4};y^{4};z^{4}$ chia hết cho 4 suy ra x,y,z chẵn .
$ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}= [20^{x}-(-1)^{x}]+[11^y-(-1)^{y}]$ $ -(1969^{z}-1^{z})$ +1
Vì $ (a^{n}-b^{n})\vdots(a-b)$ nên $ (20^{x}-(-1)^{x})\vdots21\vdots3$
$ (11^{y}-(-1)^{y})\vdots12\vdots3$ , $ (1969^{z}-1^{z})\vdots1968\vdots3$
suy ra A chia 3 du 1
Mà $ a+a^{2}= a(a+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia 3 du 0 hoặc 2.
Vậy Số $ A= 20^{x}+11^{y}-1969^{z}$ ko thể viết duoi dạng $ a+a^{2}$ vs a là số tụ nhiên .

Chỗ chứng minh A chia 3 dư 1. Anh viết lại như sau cho dễ hiểu:
\[A = {20^x} + {11^y} - {1969^z} \equiv {\left( { - 1} \right)^x} + {\left( { - 1} \right)^y} - {\left( { - 1} \right)^z} \equiv 1 + 1 - 1 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-03-2012 - 22:11