Chủ đề này có 115 trả lời

[L Lawliet]

Gửi cho các bạn 1 tài liệu rất hay mà mình sưu tầm được:
http://www.mediafire...3f26bwlzd54k2ld
@Việt: Xem lại 1 số đề hình dùm tớ với .

[L Lawliet]

3. Cho đường thẳng AB, (I) thay đổi luôn tiếp xúc với AB sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A, B đến (I) song song với nhau. E là tiếp điểm của (I) với AB
a) Tìm quỹ tích điểm I
b) CM: MN tiếp xúc với một đường tròn cố định tại trung điểm MN
c) Với vị trí nào của I thì tam giác ENM cân

$MN$ ở đây là gì? Bài toán đâu có nhắc đến $MN$ Việt xem lại các bài tập hình nhé .
------------------------------
Mình post 1 số bài hình hộ Việt luôn .
Bài 1: Trong tứ giác lồi có độ dài $3$ cạnh bằng nhau và bằng $a$ ($a$ là số dương cho trước), hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Toán - Tin ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội năm học $2007 - 2008$).
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính $BC$. Một điểm $H$ thuộc $BC$. Kẻ $Hz$ vuông góc với $BC$. Gọi $A$ là giao điểm của $Hz$ với nửa đường tròn. Trong cùng một nửa mặt phẳng với $Hz$, bờ $BC$ kẻ các tiếp tuyến $Bx$, $Cy$ với nửa đường tròn; $CA$ cắt $Bx$ tại $E$; $AB$ cắt $Cy$ tại $D$ và $AH$ cắt $ED$ tại $L$.
a) CMR: $AH=AL$.
b) CMR: $S_{ABC}=S_{AED}$.
c) Gọi $P$ là trung điểm của $BE$ và $Q$ là trung điểm của $CD$. CMR: $PQ$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại điểm $A$.
Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ có $\measuredangle A<90^o$; $AC$ vuông góc với $BD$ tại $M$; $P$ là trung điểm của $CD$; $H$ là trực tâm của $\Delta ABD$.
a) Tính: $\frac{PM}{DH}$.
b) Gọi $N$ và $K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và $D$ của tam giác $ABD$; $Q$ là giao điểm của hai đường thẳng $KM$ và $BC$. CMR: $MN=MQ$.
c) CMR: Tứ giác $BQNK$ nội tiếp được.
Bài 4: Cho hai đường tròn ($O$) và ($O'$) cắt nhay tại $A$ và $B$. Một đường thẳng qua $B$ cắt ($O$) và ($O'$) theo thứ tự tại $C$ và $D$.
a) CMR: Góc $CAD$ có số đo không đổi.
b) Tiếp tuyến của ($O$) tại $C$ và ($O'$) tại $D$ cắt nhau tại $E$. CMR: $A, C, D, E$ cùng nằm trên một đường tròn.
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định năm học $2006 - 2007$).
Bài 5: Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$ và $AB=2$, $BC=13$, $CD=8$, $DA=5$.
a) Đường thẳng $BA$ cắt $BC$ tại $E$. Tính $AE$?
b) Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

[nthoangcute]

Sorry, mình sửa lại rùi:

3. Cho đường thẳng AB, (I) thay đổi luôn tiếp xúc với AB sao cho các tiếp tuyến AM, BN đến (I) song song với nhau (M. N là tiếp điểm). E là tiếp điểm của (I) với AB.
a) Tìm quỹ tích điểm I
b) CM: MN tiếp xúc với một đường tròn cố định tại trung điểm MN
c) Với vị trí nào của I thì tam giác ENM cân

Mình post thêm nhé !!!
Nhưng mình sẽ post khoảng 10 bài cực trị hình học cho những ai muốn (có nguyện vọng) thi Toán-Toán khi vào chuyên.
Nếu ai có nhu cầu thì mình post

[doviettoan1997]

Cả nhà cho em hỏi bài này nhé Em cảm ơn ạ Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2r. Gọi C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. Xác định vị trí của K để (KM +KN+ KB) đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó

[nthoangcute]

Trời, lại bài này (bạn có quen Phương không, bài này làm rùi):
___________________________________________________

Bước 1: CM $\Delta$MAO đều:
Thật vậy: Xét $\Delta$MOA có đường cao MC và đường trung tuyến MC nên $Delta$MAO cân tại M
Lại có $MO=MA=r$ nên $\Delta$MAO đều
Bước 2: CM $\Delta$MNB đều:
Thật vậy: Vì $\widehat{MNB}=\widehat{MAB}=60^o$ (do cùng chắn cung BM của (O,r))
CMTT thì $\widehat{NMB}=60^o$
Do đó $\Delta$MNB đều
Bước 3 : CM $KM+KB=KN$
Bạn chú ý đến định lý Ptoleme, áp dụng nó vào tứ giác nội tiếp MKBN, ta được:
$KM.NB+KB.MN=KN.MB$ mà $MN=MB=NB$
Suy ra $KM+KB=KN$
Bước 4 : Tìm K để (KM +KN+ KB) đạt giá trị lớn nhất:
Ta kẻ đường kính NH của (O,r). Khi đó KH vuông góc với KN Suy ra $KN \leq NH=2r$
Vì $KM +KN+ KB=2KN$ ( do $KM+KB=KN$)
Suy ra $KM +KN+ KB=2KN \leq 2.2r=4r$
(KM +KN+ KB) đạt giá trị lớn nhất là 4r khi và chỉ khi K là điểm nằm chính giữa của cung BM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 05-04-2012 - 12:38

[davildark]

Mở hàng lun
Bài2
a) Áp dụng Ta-lét vào EB//HL//DC
$\frac{AH}{EB}=\frac{AC}{EC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AL}{EP}$
=> AH=AL
b) EB//DC => AB.AC=AE.AD
=>S(ABC)=S(AED)
c) $\frac{EB}{DC}=\frac{AB}{AD}\frac{EB}{DC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{BP}{AB}=\frac{DQ}{AD}$ (VÌ P,Q là trung điểm của EB và DC)
$\Rightarrow \bigtriangleup BPA$~$ \bigtriangleup DQA$ (c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{DAQ}$ => P,Q,A thẳng hàng
OP//EC mà $AB\perp EC$ => $OP \perp AB$
=>OP là trung trực của OA => $\bigtriangleup APO=\bigtriangleup BPO$
=>$\widehat{PAO}=\widehat{PBO}=90^{\circ}$
=> DPCM
Bài4
a)$\widehat{CAD}=180^{\circ}-(\frac{\widehat{AOB}+\widehat{AO'B}}{2})$
=> không đổi
b)$\widehat{ECD}+\widehat{CDE}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{CAD}$
=>$\widehat{CED}+\widehat{CAD}=180^{\circ}$ (ta cũng có thể suy ra góc CED không đổi)
=>ECAD nội tiếp hay A,C,D,E cùng thuộc 1 đường tròn
Bài5
a) Đặt AE=x , ED=y
Ta có hệ pt $\left\{\begin{matrix}
(x+2)^{2}+(y+8)^{2}=13^{2}\\
x^{2}+y^{2}=25
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=4\\
y=3

\end{matrix}\right.$
Vậy AE=3
b) S(ABCD)=S(EBC)-S(AED)=24(các bạn tự thay số tính)
-----------------------------------------------------------------------------
Bài 3 bạn xem lại xem có đúng đề ko
Bài 1 dài quá lười gõ LATEX

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 05-04-2012 - 15:51

[nthoangcute]

Hình cực trị đây:
1. Cho M là điểm tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác ABCD. CM: $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2 \geq 2S_{ABCD}$
2. Cho $\Delta$ABC có $BC \geq CA \geq AB$. CM: $(AB+BC+CA)^2 \leq 9.AC.CB$
3. Cho ($I,r$) nội tiếp $\Delta$ABC. CM: $\Delta$ABC đều $\Leftrightarrow IA+IB+IC=6r$
4. Gọi $h_1,h_2,h_3$ là độ dài khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB của $\Delta$ABC. CM: $\frac{BC}{h_1}+\frac{CA}{h_2}+\frac{AB}{h_3} \geq 6\sqrt{3}$
5. Cho ($O,R$) ngoại tiếp $\Delta$ABC. $R_a, R_b, R_c$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BOC, $\Delta$COA, $\Delta$AOB. CMR: $R_a+R_b+R_c >3R$
6. Cho đa giác đều $A_1A_2...A_{1994}$ có cạnh là 1. Khoảng cách từ điểm M bất kì trong đa giác tới các đỉnh $A_1,A_2,...,A_{1994}$ là $a_1, a_2, ...,a_{1994}$. CM $a_1^2+a_2^2+...+a_{1994}^2 >1994$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 05-04-2012 - 19:51

[L Lawliet]

Mở hàng lun
Bài2
a) Áp dụng Ta-lét vào EB//HL//DC
$\frac{AH}{EB}=\frac{AC}{EC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AL}{EP}$
=> AH=AL

Bạn giải sai ở chỗ này tuy nhiên hướng làm thì đúng rồi.

[nthoangcute]

Hai bến sông A,B cách nhau 126km. Một tàu thủy đi từ A xuôi dòng về B. Cùng lúc đó có 1 đám bèo trôi tự do theo cùng chiều với tàu. Khi tàu vửa đến B liền quay về A thì tính ra hết 16h. Trên đường về A, khi còn cách A 28km thì gặp lại đám bèo kia. Tính vận tốc dòng chảy và vận tốc của tàu

Gọi vận tốc tàu là V
Gọi vận tốc nước = bèo =$V_o$

khi còn cách A 28km thì gặp lại đám bèo $\to V_o=\frac{28}{16}=1,75 km/h $

thời gian đi xuôi dòng của tàu : $t_1=\frac{126}{V+V_o}$

thời gian đi ngược dòng của tàu :$t_2=\frac{126}{V-V_o}$
$t=t_1+t_2=16$ (h)

$\to \frac{126}{V+V_o}+\frac{126}{V-V_o}=16$

Đến đây bạn tự làm tiếp nhé !
Không hiểu cứ hỏi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 07-04-2012 - 17:42

[L Lawliet]

Mọi người ơi mình hỏi bài này với, Lập ra phương trình nhưng lại không giải được ý.

Đề nghị bạn không post nhưng câu hỏi như vầy vào topic mình đã nói ở "nội quy topic rồi" :|.

[L Lawliet]

Các bạn cố gắng giải quyết bài tập của mình và Việt đi chứ , kiểu này dẹp tiệm quá .

[haroonhocxinh]

Giải bài tập cực trị hình học của Việt
Bài 1:lưu ý rằng với mọi $\Delta ABC$ ta luôn có :$\Delta ABC\leq \frac{1}{2}AB.AC$.Đẳng thức xảy ra khi $sinBAC=0$ tức $\widehat{BAC}=90$("thời gian có hạn" nên mình ko giải rõ,bạn nào ko hiểu chỗ này liên lạc mình mình sẽ chỉ cụ thể)


Do đó với tứ giác ABCD ta có $S_{MAB}\leq \frac{MA.MB}{2}\leq \frac{MA^2+MB^2}{4}$ (cauchy)
Tương tự $S_{MBC}\leq \frac{MC^2+MB^2}{4}$,$S_{MDC}\leq \frac{MC^2+MD^2}{4}$,$S_{MDA}\leq \frac{MA^2+MD^2}{4}$
cộng các bđt trên theo vế ta được đpcm
Bài 3:Ở đây ta xét 2 chiều
* $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow IA+IB+IC=6$(dễ chứng minh)
* $IA+IB+IC=6\Rightarrow \Delta ABC$ đều
Vẽ đường cao AH và IK vuông góc với BC.Gọi độ dài đường cao tương ứng với BC,CA,AB là $h_{1},h_{2},h_{3}$ ta có

$IA+IK\geq AH\Rightarrow IA+r\geq h_{1}$
Tương tự $IB+r\geq h_{2}$ và $IC+r\geq h_{3}$.Cộng 3bđt trên theo vế,kết hợp với giả thiết ta được $9r\geq h_{1}+h_{2}+h_{3}$
mà với tam giác bất kì ta luôn có $9r\leq h_{1}+h_{2}+h_{3}$.Do đó
đẳng thức xảy ra khi độ dài 3đường cao bằng nhau và I là trực tâm tam giác tức tam giác ABC đều.
(có gì thắc mắc cứ liên lạc ở mình,bây giờ mình vội đi học nên chỉ có thể giải đến đây thôi)

[Silentwind Er]

Trời, lại bài này (bạn có quen Phương không, bài này làm rùi):
___________________________________________________

Bước 1: CM $\Delta$MAO đều:
Thật vậy: Xét $\Delta$MOA có đường cao MC và đường trung tuyến MC nên $Delta$MAO cân tại M
Lại có $MO=MA=r$ nên $\Delta$MAO đều
Bước 2: CM $\Delta$MNB đều:
Thật vậy: Vì $\widehat{MNB}=\widehat{MAB}=60^o$ (do cùng chắn cung BM của (O,r))
CMTT thì $\widehat{NMB}=60^o$
Do đó $\Delta$MNB đều
Bước 3 : CM $KM+KB=KN$
Bạn chú ý đến định lý Ptoleme, áp dụng nó vào tứ giác nội tiếp MKBN, ta được:
$KM.NB+KB.MN=KN.MB$ mà $MN=MB=NB$
Suy ra $KM+KB=KN$
Bước 4 : Tìm K để (KM +KN+ KB) đạt giá trị lớn nhất:
Ta kẻ đường kính NH của (O,r). Khi đó KH vuông góc với KN Suy ra $KN \leq NH=2r$
Vì $KM +KN+ KB=2KN$ ( do $KM+KB=KN$)
Suy ra $KM +KN+ KB=2KN \leq 2.2r=4r$
(KM +KN+ KB) đạt giá trị lớn nhất là 4r khi và chỉ khi K là điểm nằm chính giữa của cung BM

Đây là phần cuối bài hình trong đề thi vào 10 TP Hà Nội năm 2006-2007 ^^ trùng hợp thôi mà

[L Lawliet]

Nãy Phương có nói là không biết bài nào làm rồi bài nào làm chưa nên mình đã sửa lại các post của mình, các bạn lưu ý là bài nào có chữ đỏ là đã được giải quyết rồi còn màu đen là chưa nhé .
P/s: Việt ơi sửa lại các post của cậu luôn nhé .

[L Lawliet]

Up topic , (xin lỗi các Mod vì spam ).

[nthoangcute]

Bài 1. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
a) $x^2 - x + m = 0$
b) $(m-2) x^2 - 2(m+1) m-5 = 0$
Bài 2. Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình : $c^2x^2 + (a^2-b^2-c^2)x + b^2 = 0 $vô nghiệm.
Bài 3. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh răng phương trình sau luôn có nghiệm:$( a^2+b^2-c^2)x^2 -4ab +a^2 +b^2-c^2 = 0$
Bài 4. Tìm a để phương trình $x^2+ax+1=0 $ có 2 nghiệm
$ x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện : $\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1^2}>7$
Bài 5. Giải hệ phương trình:
a) $\left\{ \begin{array}{l} x^2+3 y^3-7=0 \\ x+2y-4=0 \end{array} \right.$
b)$ \left\{ \begin{array}{l} x^2+x-y^2-1=0 \\ -x^2-3x+2y^2-4=0 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l} x+y-2xy+1=0 \\ x^2+y^2+2x+2y-1=0 \end{array} \right.$
d) $\left\{ \begin{array}{l} x^2+x-y^2-y=0 \\ x^2+y^2=-5(x+y)=0 \end{array} \right.$
Bài 6. Cho parabol: $y=x^2-2(m+7)x+m^2+14m$. Chứng minh rằng parabol này luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A,B và khoảng cách giữa 2 điểm này luôn không đổi.
Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:$(m+3)x^4-3x^2+1=0$
Bài 8. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) $\frac{2m+1}{x-2}-m-1=0$
b) $\frac{mx^2-2mx+m-1}{x-1}+1=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 14-04-2012 - 12:27

[L Lawliet]

Bài 1. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
a) $x^2 - x + m = 0$
b) $(m-2) x^2 - 2(m+1) m-5 = 0$
Bài 2. Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình : $c^2x^2 + (a^2-b^2-c^2)x + b^2 = 0 $vô nghiệm.
Bài 3. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh răng phương trình sau luôn có nghiệm:$( a^2+b^2-c^2)x^2 -4ab +a^2 +b^2-c^2 = 0$

Bài 1:
Xét biệt thức Delta là ra mình khỏi làm nhé .
Bài 2:
Ta có:
$\Delta =(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=...=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)<0$
Bài 3:
Tương tự bài 2 nhưng lần này biệt thức Delta $>0$ .

[aklpt123]

Hình cực trị đây:

4. Gọi $h_1,h_2,h_3$ là độ dài khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB của $\Delta$ABC. CM: $\frac{BC}{h_1}+\frac{CA}{h_2}+\frac{AB}{h_3} \geq 6\sqrt{3}$

\ta nhân lần lượt AB,BC,AB vào.Suy ra . $\frac{BC^{{2}}}{SMBC}+\frac{AC^{2}}{SAMC}+ \frac{AB^{2}}{SAMB} \geq \frac{(AB+BC+AC)^{2}}{SABC}$.(1)
Mà ta có $SABC\leq \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}. với p = nủa chu vi. thật vậy . ta có
\(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{3p-a-b-c}{3})^{3} = \frac{p^{3}}{27}$
. suy ra $SABC^{2}\leq \frac{p^{4}}{27}$.
.Rồi thay vào(1) có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aklpt123: 14-04-2012 - 19:19

[Lnmn179]

Mình xin làm bài hình 1 của bạn nthoangcute :
1. Cho tứ giác ABCD (khác hình bình hành), ngoại tiếp (O). I, J là trung điểm AC, BD.
CM O, I, J thẳng hàng

GIẢI : (mình mới vào VMF nên chưa biết vẽ hình nên mọi người tự vẽ nhé)
TH1 : AB // CD : TH này dễ chứng minh rồi.
TH2 : AB giao CD ở K :
gọi diện tích tam giác AOB là S1, diện tích tam giác COD là S2, diện tích tứ giác ABCD là S
ta có S1 + S2 = $\frac{1}{2}$ S ( dễ cm )
cm tương tự thì các điểm I,J cũng có tính chất như trên của O.
trên đoạn AK lấy G sao cho KG = AB, trên đoạn DK lấy H sao cho KH = CD.
=> S1 + S2 = diện tích tứ giác GOHK = $\frac{1}{2}$ S
=> diện tích $\Delta$OGH = $\frac{1}{2}$ S - diện tích $\Delta KGH$
cm tương tự ta cũng có diện tích $\Delta$IGH = $\frac{1}{2}$ S - diện tích $\Delta KGH$
$\Delta$JGH = $\frac{1}{2}$ S - diện tích $\Delta KGH$
=> diện tích $\Delta$OGH = diện tích $\Delta$IGH = diện tích $\Delta$JGH
mà 3 tam giác trên trung đáy GH
=> O,I,J thẳng hàng.

[Lnmn179]

9. Cho $\Delta$ABC nhọn nội tiếp (O). (O') đi qua B, C cắt AB, AC ở M, N sao cho M, N là trung điểm AB, AC.
a) CMR tứ giác AMON nội tiếp
b) I đối xứng với O qua O'. CMR AI vuông góc với BC

Bài này sai đề rồi bạn ơi. BCNM là tứ giác nội tiếp $\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ cân ở A chứ ko bất kỳ đc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-05-2012 - 19:58
$\LaTeX$ không đúng quy định