Chủ đề này có 115 trả lời

[ToanHocLaNiemVui]

Bài 15:
Solution:
Vì $x,y,z\geq 0;x+y+z=1$, nên: $1-x;1-y;1-z\geq 0$.
AD BĐT AM-GM cho 2 số không âm, ta có:
$(1-x)(1-y)\leq (\frac{1-x+1-z}{2})^{2}$ (1)
Từ (1), suy ra: $4(1-x)(1-z)\leq (1+y)^{2}\Leftrightarrow 4(1-x)(1-y)(1-z)\leq (1+y)^{2}(1-y)$.
Mặt khác: $(1+y)^{2}(1-y)=(1-y^{2})(1+y)=(1-y^{2})(x+2y+z)\leq x+2y+z$
Vậy: $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$.

[pumpumt]

Bài 1:
Xét $A- \frac{2}{3}=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+4x+4}-\frac{2}{3}=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+4x+4}= \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{\left ( x+2 \right )^{2}}\geq 0\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}\Rightarrow$ min A=$\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=1$

[pumpumt]

Bài 4:
$M= x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\sqrt{x^{2}y^{2}\times \frac{1}{256}x^{2}y^{2}}+\frac{1}{256}\times 16+2=\frac{289}{16}$
dấu = khi x=y=0,5

[pumpumt]

$N=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+4= x^{2}+\frac{1}{16x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{16y^{2}}+\frac{15}{16}\left ( \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}\right )\geq 4\sqrt[4]{x^{2}\times \frac{1}{16x^{2}}\times y^{2}\times \frac{1}{16y^{2}}}+2\times \frac{15}{16}\times 4= 12,5$
dấu = xảy ra khi x=y=0,5

[ToanHocLaNiemVui]

Giờ gấp rút nên mình post thêm vài bài BĐT nữa:
__________________________________________________
Bài 5: Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Tìm GTNN của $A=x^2+y^2+z^2$
Những bài này hết sức cơ bản, nên làm lại những bài này để nắm giữ kiến thức vốn có của mình

P/s : Làm nốt bài này zùi off cũng không muộn.
Bài 5:
Solution:
AD BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
•, $xy+yz+xz\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$; (1)
•, $x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ (2)
Cộng lần lượt 2 vế của (1) và (2), kết hợp với đề bài, ta có:
$6\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ (*)
Đặt: $\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=a\geq 0$
Suy ra: $(*)\Leftrightarrow 6\leq \frac{1}{3}a^{2}+a$
Đến đây mời bạn giải tiếp.

[pumpumt]

Bài 14
có $\sqrt{a}> \sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}> 2\sqrt{b}\Rightarrow \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}> 4b$
có
$\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{8b}= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{8b}> \frac{4b(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{8b}= \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$

[pumpumt]

bài 10:
$A= \frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{\left ( x+y \right )^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{\left ( x+y \right )^{3}}{xy}= \frac{x^{3}+y^{3}+3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}+3xy}{xy}= 4+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}\times \frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}= 4+2\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pumpumt: 29-04-2012 - 21:07

[pumpumt]

í quên dấu = xảy ra khi x,y=$\frac{1\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{3}-3}{3}}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pumpumt: 29-04-2012 - 21:10

[pumpumt]

Bài 12:
$1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b}{b+1}\times \frac{c}{c+1}\times \frac{d}{d+1}}$
làm tương tự với 3 cái còn lại sau đó nhân tất vào ta được
$\frac{1}\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )(c+1)(d+1)$$\geq 81\frac{abcd}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\left ( d+1 \right )}\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$

[Dung Dang Do]

Giờ gấp rút nên mình post thêm vài bài BĐT nữa:
__________________________________________________
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: $A=\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$
Bài 2: Cho $x,y$ thỏa mãn đẳng thức: $x+y=\sqrt{10}$. Tìm GTNN của $P=(x^4+1)(y^4+1)$
Bài 3: Tìm GTNN $A=x^2+y^2+xy-5x-4y+2002$
Bài 4: Cho $x+y=1$.
a) Tìm GTNN của $M=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$
b) Tìm GTNN của $N=$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 1^2+1^2=2$$
Bài 5: Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Tìm GTNN của $A=x^2+y^2+z^2$
Bài 6: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh $ab+bc \geq a^2+b^2+c^2 <2(ab+bc+ca)$
Bài 7: Tìm GTNN của $\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}$ biết $x+y=8$
Bài 8: Cho $\angel A, \angel B, \angel C$ là các góc nhọn của $\Delta$ ABC thỏa mãn $Cos^2A+Cos^2B+Cos^2C \geq 2$.
Chứng minh $(tgA.tbB.tgC)^2 \geq \frac{1}{8}$
Bài 9: Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}$
Bài 10: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN $A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}$
Bài 11:Chứng minh $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac} \geq \frac{9}{2}$
Bài 12: Cho các số dương $a, b,c,d$ biết $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1} \leq 1$. Chứng minh $abcd \leq \frac{1}{81}$
Bài 13: Tìm GTNN của $A=\frac{x^2-2x+2006}{x^2}$
Bài 14: Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} < \frac{(a-b)^2}{8b}$ với $a>b>0$
Bài 15: Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh $x+2y+z \geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
_________________________________________________________________________________
Những bài này hết sức cơ bản, nên làm lại những bài này để nắm giữ kiến thức vốn có của mình

$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})\ge (\sqrt{\frac{x^2}{y^2}})(\sqrt{\frac{y^2}{z^2}})=\frac{x.y}{y.x}=1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$
$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 4+4=8$
dấu bằng xảy ra khi x=1;y=1
Bài 6. Hình như là $ab+bc\le a^2+b^2+c^2$ chứ
Còn vế sau $a<b+c\iff a^2<ab+bc$
$\to \sum a^2$

[pumpumt]

$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})\ge (\sqrt{\frac{x^2}{y^2}})(\sqrt{\frac{y^2}{z^2}})=\frac{x.y}{y.x}=1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$
$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 4+4=8$
dấu bằng xảy ra khi x=1;y=1
Bài 6. Hình như là $ab+bc\le a^2+b^2+c^2$ chứ
Còn vế sau $a<b+c\iff a^2<ab+bc$
$\to \sum a^2$

bạn làm sai rồi đó, không thấy dấu = xảy ra sai à hơn nữa điều kiện x+y=1 mà, bạn nên xác định điểm rơi trước khi dùng cauchy, đừng dùng bừa bãi như vậy

[nthoangcute]

Thông cảm cho Dũng đi mà !!!
Em ấy học lớp 8 nên chắc chưa "sõi" Điểm rơi Cauchy

[davildark]

Bài 4: Cho $x+y=1$.
a) Tìm GTNN của $M=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$
b) Tìm GTNN của $N=(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2$

a)
$M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2$
$\ge 2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256\frac{\left ( x+y \right )^4}{16}}+2=\frac{1}{8}+\frac{256}{16}+2=\frac{289}{16}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
b)
$$N=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4$$
$$\ge \frac{(x+y)^2}{2}+\frac{2}{xy}+4\ge\frac{1}{2}+\frac{8}{(x+y)^2}+4=\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 30-04-2012 - 19:31

[Alexman113]

Để hâm nóng lại topic này mạn phép đăng lên một số bài để các em lớp 9 ôn tập thi vào lớp 10 CHUYÊN và KHÔNG CHUYÊN.
ĐỀ BÀI:
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(7+x)(2-x)}=3$

b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$

c) $x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt3}{3}\sqrt{x^2+x^2+1}$

d) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1-x)^3}-\sqrt{(1+x)^3} \right)=2+\sqrt{1-x^2}$

e) $\dfrac{4x}{x^2+x + 1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1$

f) $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=2$

Bài 2. Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn điều kiện phương trình:$ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 $ có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $H=a^2+b^2$.

Bài 3. Các số $\alpha, \beta$ thỏa mãn đẳng thức sau:$$\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1, \beta^3-3\beta^2+5\beta=5$$ Hãy tính $C=\alpha+\beta$

Bài 4. Cho phương trình: $2(x^2-1)=x(px+1)$
a) Tìm $p$ để phương trình nhận $x=1$ làm nghiệm.
b) Tìm $p$ để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 5. Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng: $$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$$

Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 ; x^2+a_2x+b_2=0$$

Bài 7. Biết $a, b$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+mx+1=0$ & $b, c$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+qx+2=0$
Chứng minh rằng: $(b-a)(b-c)=pq-6$

Bài 8. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^3-3x=y^3-3y \\ x^6+y^6=1 \end{matrix} \right.$

Bài 9. Cho $ \triangle ABC$ vuông tại $A$, $AD$ là phân giác $(D\in BC)$. Cho $AB=c, AC=b$. Chứng minh rằng: $AD=\dfrac{\sqrt2bc}{(b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 04-05-2012 - 10:56

[ToanHocLaNiemVui]

Để hâm nóng lại topic này mạn phép đăng lên một số bài để các em lớp 10 ôn tập.
ĐỀ BÀI:
Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 (1) ; x^2+a_2x+b_2=0 (2)$$

Solution:
Ta có:
$\Delta _{1}=a_{1}^{2}-4b_{1}$
$\Delta _{2}=a_{2}^{2}-4b_{2}$
Suy ra: $\Delta _{1}+\Delta _{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})-4(b_{1}+b_{2})$
Ta có BĐT quen thuộc: $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$
Kết hợp BĐT trên với đề bài, ta có:
$\Delta _{1}+\Delta _{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})-4(b_{1}+b_{2})\geq 2(a_{1}a_{2}-2(b_{1}+b_{2}))\geq 0$.
Từ đó suy ra có ít nhất 1 "đen-ta" không âm...
P/s: Alexman cho đề "hơi rắn"...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 03-05-2012 - 20:24

[ninhxa]

Bài 1. Giải các phương trình sau:

b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$

Phương trình tương đương với:
$(12x-1)(12x-2)(12-3)(12-4)=5.2.3.4=120$ (*)

Đặt 12x-4=t$
(*)\Leftrightarrow t(t+1)(t+2)(t+3)=120$
$\Leftrightarrow (t^2+3t)(t^2+3t+2)=120$ (**)

Đặt $t^2+3t+1=s$

$(**)\Leftrightarrow (s-1)(s+1)=120\Leftrightarrow s^2-1=120\Leftrightarrow s^2=121\Leftrightarrow s=\pm 11$

Từ đây ta thay lần lượt sẽ được nghiệm