Topic ôn tập vào lớp 10
#101
Đã gửi 29-04-2012 - 20:16
Solution:
Vì $x,y,z\geq 0;x+y+z=1$, nên: $1-x;1-y;1-z\geq 0$.
AD BĐT AM-GM cho 2 số không âm, ta có:
$(1-x)(1-y)\leq (\frac{1-x+1-z}{2})^{2}$ (1)
Từ (1), suy ra: $4(1-x)(1-z)\leq (1+y)^{2}\Leftrightarrow 4(1-x)(1-y)(1-z)\leq (1+y)^{2}(1-y)$.
Mặt khác: $(1+y)^{2}(1-y)=(1-y^{2})(1+y)=(1-y^{2})(x+2y+z)\leq x+2y+z$
Vậy: $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$.
- Dung Dang Do, nthoangcute, NLT và 1 người khác yêu thích
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#102
Đã gửi 29-04-2012 - 20:24
Xét $A- \frac{2}{3}=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+4x+4}-\frac{2}{3}=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+4x+4}= \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{\left ( x+2 \right )^{2}}\geq 0\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}\Rightarrow$ min A=$\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=1$
#103
Đã gửi 29-04-2012 - 20:31
$M= x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2= x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2\geq 2\sqrt{x^{2}y^{2}\times \frac{1}{256}x^{2}y^{2}}+\frac{1}{256}\times 16+2=\frac{289}{16}$
dấu = khi x=y=0,5
#104
Đã gửi 29-04-2012 - 20:42
dấu = xảy ra khi x=y=0,5
#105
Đã gửi 29-04-2012 - 20:45
Giờ gấp rút nên mình post thêm vài bài BĐT nữa:
__________________________________________________
Bài 5: Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Tìm GTNN của $A=x^2+y^2+z^2$
Những bài này hết sức cơ bản, nên làm lại những bài này để nắm giữ kiến thức vốn có của mình
P/s : Làm nốt bài này zùi off cũng không muộn.
Bài 5:
Solution:
AD BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
•, $xy+yz+xz\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$; (1)
•, $x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ (2)
Cộng lần lượt 2 vế của (1) và (2), kết hợp với đề bài, ta có:
$6\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ (*)
Đặt: $\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=a\geq 0$
Suy ra: $(*)\Leftrightarrow 6\leq \frac{1}{3}a^{2}+a$
Đến đây mời bạn giải tiếp.
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#106
Đã gửi 29-04-2012 - 20:52
có $\sqrt{a}> \sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}> 2\sqrt{b}\Rightarrow \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}> 4b$
có
$\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{8b}= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{8b}> \frac{4b(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{8b}= \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$
#107
Đã gửi 29-04-2012 - 21:01
$A= \frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{\left ( x+y \right )^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{\left ( x+y \right )^{3}}{xy}= \frac{x^{3}+y^{3}+3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}+3xy}{xy}= 4+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}\times \frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}= 4+2\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pumpumt: 29-04-2012 - 21:07
#108
Đã gửi 29-04-2012 - 21:10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pumpumt: 29-04-2012 - 21:10
#109
Đã gửi 29-04-2012 - 21:16
$1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b}{b+1}\times \frac{c}{c+1}\times \frac{d}{d+1}}$
làm tương tự với 3 cái còn lại sau đó nhân tất vào ta được
$\frac{1}\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )(c+1)(d+1)$$\geq 81\frac{abcd}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\left ( d+1 \right )}\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$
#110
Đã gửi 30-04-2012 - 06:32
$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})\ge (\sqrt{\frac{x^2}{y^2}})(\sqrt{\frac{y^2}{z^2}})=\frac{x.y}{y.x}=1$Giờ gấp rút nên mình post thêm vài bài BĐT nữa:
__________________________________________________
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: $A=\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$
Bài 2: Cho $x,y$ thỏa mãn đẳng thức: $x+y=\sqrt{10}$. Tìm GTNN của $P=(x^4+1)(y^4+1)$
Bài 3: Tìm GTNN $A=x^2+y^2+xy-5x-4y+2002$
Bài 4: Cho $x+y=1$.
a) Tìm GTNN của $M=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$
b) Tìm GTNN của $N=$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 1^2+1^2=2$$
Bài 5: Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Tìm GTNN của $A=x^2+y^2+z^2$
Bài 6: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh $ab+bc \geq a^2+b^2+c^2 <2(ab+bc+ca)$
Bài 7: Tìm GTNN của $\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}$ biết $x+y=8$
Bài 8: Cho $\angel A, \angel B, \angel C$ là các góc nhọn của $\Delta$ ABC thỏa mãn $Cos^2A+Cos^2B+Cos^2C \geq 2$.
Chứng minh $(tgA.tbB.tgC)^2 \geq \frac{1}{8}$
Bài 9: Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}$
Bài 10: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN $A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}$
Bài 11:Chứng minh $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac} \geq \frac{9}{2}$
Bài 12: Cho các số dương $a, b,c,d$ biết $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1} \leq 1$. Chứng minh $abcd \leq \frac{1}{81}$
Bài 13: Tìm GTNN của $A=\frac{x^2-2x+2006}{x^2}$
Bài 14: Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} < \frac{(a-b)^2}{8b}$ với $a>b>0$
Bài 15: Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh $x+2y+z \geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
_________________________________________________________________________________
Những bài này hết sức cơ bản, nên làm lại những bài này để nắm giữ kiến thức vốn có của mình
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$
$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 4+4=8$
dấu bằng xảy ra khi x=1;y=1
Bài 6. Hình như là $ab+bc\le a^2+b^2+c^2$ chứ
Còn vế sau $a<b+c\iff a^2<ab+bc$
$\to \sum a^2$
#111
Đã gửi 30-04-2012 - 10:08
bạn làm sai rồi đó, không thấy dấu = xảy ra sai à hơn nữa điều kiện x+y=1 mà, bạn nên xác định điểm rơi trước khi dùng cauchy, đừng dùng bừa bãi như vậy$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})\ge (\sqrt{\frac{x^2}{y^2}})(\sqrt{\frac{y^2}{z^2}})=\frac{x.y}{y.x}=1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$
$(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\ge 4+4=8$
dấu bằng xảy ra khi x=1;y=1
Bài 6. Hình như là $ab+bc\le a^2+b^2+c^2$ chứ
Còn vế sau $a<b+c\iff a^2<ab+bc$
$\to \sum a^2$
#112
Đã gửi 30-04-2012 - 12:04
Em ấy học lớp 8 nên chắc chưa "sõi" Điểm rơi Cauchy
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#113
Đã gửi 30-04-2012 - 19:28
Bài 4: Cho $x+y=1$.
a) Tìm GTNN của $M=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$
b) Tìm GTNN của $N=(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2$
a)
$M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2$
$\ge 2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256\frac{\left ( x+y \right )^4}{16}}+2=\frac{1}{8}+\frac{256}{16}+2=\frac{289}{16}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
b)
$$N=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4$$
$$\ge \frac{(x+y)^2}{2}+\frac{2}{xy}+4\ge\frac{1}{2}+\frac{8}{(x+y)^2}+4=\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 30-04-2012 - 19:31
- nthoangcute và tranvandung19972012 thích
#114
Đã gửi 01-05-2012 - 19:02
ĐỀ BÀI:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(7+x)(2-x)}=3$
b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$
c) $x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt3}{3}\sqrt{x^2+x^2+1}$
d) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1-x)^3}-\sqrt{(1+x)^3} \right)=2+\sqrt{1-x^2}$
e) $\dfrac{4x}{x^2+x + 1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1$
f) $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=2$
Bài 2. Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn điều kiện phương trình:$ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 $ có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $H=a^2+b^2$.
Bài 3. Các số $\alpha, \beta$ thỏa mãn đẳng thức sau:$$\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1, \beta^3-3\beta^2+5\beta=5$$ Hãy tính $C=\alpha+\beta$
Bài 4. Cho phương trình: $2(x^2-1)=x(px+1)$
a) Tìm $p$ để phương trình nhận $x=1$ làm nghiệm.
b) Tìm $p$ để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 5. Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng: $$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$$
Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 ; x^2+a_2x+b_2=0$$
Bài 7. Biết $a, b$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+mx+1=0$ & $b, c$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+qx+2=0$
Chứng minh rằng: $(b-a)(b-c)=pq-6$
Bài 8. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^3-3x=y^3-3y \\ x^6+y^6=1 \end{matrix} \right.$
Bài 9. Cho $ \triangle ABC$ vuông tại $A$, $AD$ là phân giác $(D\in BC)$. Cho $AB=c, AC=b$. Chứng minh rằng: $AD=\dfrac{\sqrt2bc}{(b+c)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 04-05-2012 - 10:56
- nthoangcute, pumpumt, ToanHocLaNiemVui và 2 người khác yêu thích
#115
Đã gửi 03-05-2012 - 20:23
Để hâm nóng lại topic này mạn phép đăng lên một số bài để các em lớp 10 ôn tập.
ĐỀ BÀI:
Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 (1) ; x^2+a_2x+b_2=0 (2)$$
Solution:
Ta có:
$\Delta _{1}=a_{1}^{2}-4b_{1}$
$\Delta _{2}=a_{2}^{2}-4b_{2}$
Suy ra: $\Delta _{1}+\Delta _{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})-4(b_{1}+b_{2})$
Ta có BĐT quen thuộc: $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$
Kết hợp BĐT trên với đề bài, ta có:
$\Delta _{1}+\Delta _{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})-4(b_{1}+b_{2})\geq 2(a_{1}a_{2}-2(b_{1}+b_{2}))\geq 0$.
Từ đó suy ra có ít nhất 1 "đen-ta" không âm...
P/s: Alexman cho đề "hơi rắn"...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 03-05-2012 - 20:24
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#116
Đã gửi 04-05-2012 - 20:34
Bài 1. Giải các phương trình sau:
b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$
Phương trình tương đương với:
$(12x-1)(12x-2)(12-3)(12-4)=5.2.3.4=120$ (*)
Đặt 12x-4=t$
(*)\Leftrightarrow t(t+1)(t+2)(t+3)=120$
$\Leftrightarrow (t^2+3t)(t^2+3t+2)=120$ (**)
Đặt $t^2+3t+1=s$
$(**)\Leftrightarrow (s-1)(s+1)=120\Leftrightarrow s^2-1=120\Leftrightarrow s^2=121\Leftrightarrow s=\pm 11$
Từ đây ta thay lần lượt sẽ được nghiệm
- Doilandan yêu thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh