Chủ đề này có 36 trả lời

[YenThanh2]

Bài 1. $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-1}$

Bài 2. $\sqrt[3]{81x-8}= x^{3}-2x^{2}+\frac{4}{3}x-2$

Bài 3. $2x^{2}-6x-1=\sqrt{4x+5}$

Bài 4. $x^{2}-2x=2\sqrt{2x-1}$

Bài 5. $\frac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\frac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\frac{8}{3}$

Bài 6. $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$

Bài 7. $x^{2}-3x+1=\frac{-{\sqrt{3}}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Bài 8. $x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

Bài 9. $x=(2004+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

Bài 10. $x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2x+1$

Bài 11. $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Bài 12. $x^{3}-3x^{2}+2\sqrt{(x+2)^{3}}=6x$

Bài 13. $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Bài 14. $x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

Bài 15. $\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
Đây là bài cuối của hôm nay. Các ban làm bài tập vui vẻ. Hẹn ngày mai với 15 bài nữa.

-------------------------
Mình đã tự ý tổng hợp lại các bài toán về phương trình mà bạn YenThanh2 gửi lên Diễn đàn trong ngày hôm nay để các bạn dễ trao đổi và tránh làm loãng topic.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 17-03-2012 - 23:56

[vietfrog]

$x^{2}-2x=2\sqrt{2x-1}$

Để ý chút thì PT tương đương:

\[{x^2} = {\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\]

[vietfrog]

$2x^{2}-6x-1=\sqrt{4x+5}$

PT tương đương:

\[{\left( {2x - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {4x + 5} + 1} \right)^2}\]

[sherlock holmes 1997]

$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$

Đặt$\sqrt{x-1}$=a.Khi đó phương trình trở thành:$a^{2}+\sqrt{5+a}=5$.
Đặt $\sqrt{a+5}=b$.Khi đó ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} b^{2}=a+5 & \\ a^{2}=5-b & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow b^{2}-a^{2}=a+b$
$\Leftrightarrow (a+b)(b-a-1)=0.$
Đến đây thì bạn giải nốt nhé(đưa về phương trình bậc 2 thôi).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 17-03-2012 - 23:36

[MIM]

$\frac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\frac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\frac{8}{3}$

ĐKXĐ: $-5< x< 5$
Với ĐK trên, đặt:
$\sqrt{5-x}=a,\sqrt{5+x}=b(a,b>0)$

$\sqrt{5-x}=a$
$\Leftrightarrow a^2=5-x$
$\Leftrightarrow 2a^2=10-2x$
$\Leftrightarrow 2a^2-4=6-2x$

$\sqrt{5+x}=b$
$\Leftrightarrow b^2=5+x$
$\Leftrightarrow 2b^2=10+2x$
$\Leftrightarrow 2b^2-4=6+2x$

Khi đó:
$\frac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\frac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{2a^2-4}{a}+\frac{2b^2-4}{b}=\frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow b(2a^2-4)+a(2b^2-4)=\frac{8}{3}ab$

$\Leftrightarrow 2ab(a+b)-4(a+b)=\frac{8}{3}ab$

Từ đó, ta có hệ:

$\begin{cases} 2ab(a+b)-4(a+b)=\dfrac{8}{3}ab \\\ a^2+b^2=10 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2ab(a+b)-4(a+b)=\dfrac{8}{3}ab \\\ (a+b)^2-2ab=10 \end{cases}$

Đặt: $S=a+b(S\geq \sqrt{10}); P=ab$

$\begin{cases} 2ab(a+b)-4(a+b)=\dfrac{8}{3}ab \\\ (a+b)^2-2ab=10 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2SP-4S=\dfrac{8}{3}P \\\ S^2-2P=10 \end{cases}$

$S^2-2P=10\Leftrightarrow P=\dfrac{S^2-10}{2}$, thế lên phương trình trên và rút gọn ta được:

$6S^3-8S^2-84S+80=0$

$\Leftrightarrow (S-4)(3S^2+8S-10)=0 $

$\Leftrightarrow S=4\vee 3S^2+8S-10=0$

Với: $S=4, ta có: P=3 $

$\Leftrightarrow \sqrt{5+x}.\sqrt{5-x}=3 $

$\Leftrightarrow 25-x^2=9$

$ \Leftrightarrow x^2=16 $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=4 \\\ x=-4 \end{array} \right.$

Với $3S^2+8S-10=0\Leftrightarrow S=\frac{1}{3}(-4-\sqrt{46})\vee S=\frac{1}{3}(\sqrt{46}-4)$( Không thỏa mãn điều kiện $S\geq \sqrt{10}$)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: $x=4; x=-4$

[vietfrog]

$x^{2}-3x+1=\frac{-{\sqrt{3}}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Lời giải
Ta có:

\[\begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 1 = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} \\
\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\sqrt {\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \\
\end{array}\]
Đặt : \[\sqrt {\left( {{x^2} - x + 1} \right)} = a;\sqrt {\left( {{x^2} + x + 1} \right)} = b\]
Ta có PT:

\[2{a^2} - {b^2} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}ab\]
PT này là PT đẳng cấp bậc 2!

[MIM]

Part 28. $x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

ĐKXĐ:.......
$x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$
Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho $x$:
$x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$
$\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}$
$\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3$
Đến đây đặt $x-\frac{1}{x}=a$....... Bạn làm tiếp nha

[MIM]

33.$x^{3}-3x^{2}+2\sqrt{(x+2)^{3}}=6x$

$x^{3}-3x^{2}+2\sqrt{(x+2)^{3}}=6x$

$\Leftrightarrow x^3+6x^2+12x+8+2\sqrt{(x+2)^3}=9x^2+12x+4+6x+4$

$\Leftrightarrow (x+2)^3+2\sqrt{(x+2)^3}=(3x+2)^2+2(3x+2)$

Đặt $t=\sqrt{x+2},t\geq 0$

Phương trình trên tương đương với:

$t^6+2t^3=(3t^2-4)^2+2(3t^2-4)$

$\Leftrightarrow (t^3-3t^2+4)(t^3+3t^2-2)=0$

$\Leftrightarrow (t+1)^2(t-2)^2(t^2+2t-2)=0$

Đến đây dễ rồi
....................................
P/S: Mình thích bạn rồi đó

[MIM]

35.$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
Đây là bài cuối của hôm nay. Các ban làm bài tập vui vẻ. Hẹn ngày mai với 15 bài nữa.

$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
ĐKXĐ:.........
Đặt:

$$a=\sqrt{x^2+2x},b=\sqrt{2x-1};a,b\geq 0$$

Ta có: $3a^2-b^2=3(x^2+2x)-(2x-1)=3x^2+4x+1$

Khi đó:

$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$

$\Leftrightarrow a+b=\sqrt{3a^2-b^2}$

$\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=3a^2-b^2$

$\Leftrightarrow a^2-ab-b^2=0$, đây là phương trình bậc $2$ ẩn $a$

$\Delta =b^2+4b^2=5b^2\geq 0$ với mọi $b$

$\Rightarrow a_1=\frac{b(1+\sqrt{5})}{2},a_2=\frac{b(1-\sqrt{5})}{2}$

Mặc khác,$b=0$ không là nghiệm, $a,b\geq 0$ mà $a_2<0$ nên $a_2$
loại.
Ta có: $a=\frac{b(1+\sqrt{5})}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x}=\frac{(\sqrt{2x-1})(1+\sqrt{5})}{2}$
Đến đây bình phương hai vế

[Cao Xuân Huy]

35.$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$
Đây là bài cuối của hôm nay. Các ban làm bài tập vui vẻ. Hẹn ngày mai với 15 bài nữa.

\[pt \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 1 + 2\sqrt {({x^2} + 2x)(2x - 1)} = (x + 1)(3x + 1)\]
Chuyển vế và bình phương tiếp ta có:
\[({x^2} + 2x)(2x - 1) = {({x^2} + 1)^2} \Leftrightarrow {({x^2} - x - 1)^2} = 0\]
Từ đó giải ra và đối chiếu điều kiện

[MIM]

32.$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{{x^3}-1}$

Đặt $a=(x^2 +x +1),b=x-1$

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 2a+3b=7\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-\sqrt{b})=0$

Tới đây bạn làm tiếp Mình đi ngủ

[alex_hoang]

34.$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

Giải
Ta có điều kiện $x^2 \le 1$
Đặt $\sqrt{x^2-1} =a,x^2=b (a,b \ge 0)$
Vậy thì
$$a+3b=\sqrt{a^2-b^2}$$
Bình phương hai vế rồi thu gọn ta được
$$10b^2+6ab=0$$
Vậy $b=0$ do $a,b \ge 0$
Hay là $x=1$ hoặc $x=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 17-03-2012 - 23:33

[alex_hoang]

30. $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Giải
Điều kiện xác định $x \ge -1$
Đặt $ \sqrt{x+1} =a,\sqrt{x^2-x+1}=b (a,b \ge 0)$
Phương trình đã cho tương đương
$$2(a^2+b^2)=5ab$$
Hay là
$$ (a-2b)(2a-b)=0$$
Vậy $a=2b$ hoặc $b=2a$ đến đây đơn giản công việc còn lại là của bạn

[alex_hoang]

29. $x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2x+1$

Phương trình đã cho tương đương
$$ (\sqrt{(x+2)^3} +1)^2=9(x+1)^2$$

[YenThanh2]

Chúng ta còn phải giải quyết nốt 3 bài nữa. bài 1,2,9:d. Mọi người giúp mình nha.

[YenThanh2]

Bài 16.$x=\sqrt{2-x}.\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{2-x}$
Bài 17.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$
Bài 18.$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$
Bài 19.$x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$
Bài 20.$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$.
Vì ít thời gian lên quá nên mình gửi bài hơi nhiều. Các ban thông cảm tý nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YenThanh2: 18-03-2012 - 07:57

[MIM]

Bài 17.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$

ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$
Đặt: $\sqrt{1+x}=a$.
$\sqrt{1-x}=b$. $a,b\geq 0$
Ta có: $a^2+b^2=2$, khi đó:

$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$
$\Leftrightarrow 4a-1= 3(a^2-1)+2b+ab$
$\Leftrightarrow 3a^2-2+2b+ab-4a$ = 0
$\Leftrightarrow 3a^2-a^2-b^2+2b+ab-4a=0$
$\Leftrightarrow 2a^2-b^2+ab-4a+2b=0$
$\Leftrightarrow (a+b-2)(2a-b)=0$
$\Leftrightarrow a+b-2=0\vee 2a-b=0$

TH1: $a+b-2=0$
$\Leftrightarrow a+b=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2$
$\Leftrightarrow (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2=4$
$ \Leftrightarrow 1-x+1+x+2\sqrt{1-x^2}=4$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x^2}=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=1$
$\Leftrightarrow 1-x^2=1$
$\Leftrightarrow x=0$

TH2: $2a-b=0$
$\Leftrightarrow 2a=b$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}$
$\Leftrightarrow 4+4x=1-x$
$\Leftrightarrow x =\frac{-3}{5}$

Vậy nghiệm của phương trình trên là $0$ và $\frac{-3}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 18-03-2012 - 09:17

[MIM]

Bài 20.$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$.

ĐKXĐ:...........
$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

$\Leftrightarrow 4(2x+4)+16(2-x)+16\sqrt{(4-x^2)2}=9x^2+16$

$\Leftrightarrow 8x+16+32-16x+16\sqrt{8-2x^2}-9x^2-16=0$

$\Leftrightarrow 16\sqrt{8-2x^2} -8x+32-9x^2=0$

$\Leftrightarrow 4(8-2x^2)+16\sqrt{8-2x^2}+16-8x-9x^2+8x^2-16=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{8-2x^2}+4)^2-x^2-8x-16=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{8-2x^2}+4)^2 -(x+4)^2=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{8-2x^2}+4=x+4\vee 2\sqrt{8-2x^2}+4=-x-4$

Tới đây bình phương!
..........................................................................................
Hic, sáng ngủ dậy muộn trễ học thêm, nghỉ luôn, lên VMF chơi. Ai kia đừng giận nha

[YenThanh2]

Bài 21.$\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}=9x-3$
Bài 22.$\sqrt{2x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-3x-2}=\sqrt{2x^{2}+2x+3}+\sqrt{x^{2}-x+2}$

Bài 23.$\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YenThanh2: 18-03-2012 - 10:29

[Crystal]

Mình xin chém bài ở tiêu đề xem như giải quyết cả topic

Đặt $$\sqrt[3]{{81x - 8}} = 3y - 2 \Rightarrow 81x - 8 = 27{y^3} - 54{y^2} + 36y - 8$$
$$ \Rightarrow {y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x$$
Khi đó ta được hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l}
3y - 2 = {x^3} - 2{x^2} + \frac{4}{3}x - 2\\
{y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 2{x^2} + \frac{4}{3}x = 3y\\
{y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x
\end{array} \right.$$
Hệ phương trình trên đối xứng, chỉ việc trừ vế theo vế hai phương trình của hệ là xong.

--------------------
Câu hỏi: Làm thế nào ta có thể đặt $\mathbf{\sqrt[3]{{81x - 8}} = 3y - 2}$. Các bạn hãy thử nghĩ xem nhé.