Chủ đề này có 4 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số thực dương $x, y, z$ sao cho $xyz = 1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{1}{y^2 + y + 1} + \dfrac{1}{z^2 + z + 1} \ge 1$$

Nguồn : Võ Quốc Bá Cẩn

[Le Quoc Tung]

Đặt ẩn phụ kiểu này thôi:
$x=\frac{ab}{c^{2}}$
$y=\frac{bc}{a^{2}}$
$z=\frac{ca}{b^{2}}$
Thay vào sau đó C.S nữa là ổn

[whiterose96]

Đặt ẩn phụ kiểu này thôi:
$x=\frac{ab}{c^{2}}$
$y=\frac{bc}{a^{2}}$
$z=\frac{ca}{b^{2}}$
Thay vào sau đó C.S nữa là ổn

Bạn làm chi tiết hơn đi, mình chưa hiểu lắm

[Le Quoc Tung]

Bạn làm chi tiết hơn đi, mình chưa hiểu lắm

Uk, làm tiếp thế này nhé. Thay vào thì BĐT của ta tương đương với:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}\geq 1$
Áp dụng C.S ta có:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}= \sum \frac{c^{4}}{(ab)^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}\geq 1$
Mà điều này hiển nhiên ( quy đồng là xong ngay )
Vậy ta có đpcm

[Katyusha]

Theo cách đặt trên ta đưa BĐT về dạng:

$\dfrac{a^4}{b^2c^2+bca^2+a^4} + \dfrac{b^4}{c^2a^2+cab^2+b^4}+\dfrac{c^4}{a^2b^2+abc^2+c^4} \ge 1$

Đến đây sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$\dfrac{a^4}{b^2c^2+bca^2+a^4} + \dfrac{b^4}{c^2a^2+cab^2+b^4}+\dfrac{c^4}{a^2b^2+abc^2+c^4} \ge \dfrac{(a^+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

Ta chỉ cần chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Thu gọn BĐT ta thu được: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge abc(a+b+c)$ (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 20-03-2012 - 20:37