Đến nội dung

Hình ảnh

Giải PT nghiệm nguyên:$7^x+24^x=y^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
Đề bàì Tìm các số nguyên $x,y$ sao cho
$$7^x+24^x=y^2$$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Đề bàì Tìm các số nguyên $x,y$ sao cho
$$7^x+24^x=y^2$$

Giải như sau:
Nếu $x=0$ thì loại vì $VT=2=y^2$ vô lý
Do đó $x\geq 1$
Nhận xét $24^x \equiv 0 \pmod{4}$ mà $y^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ kết hợp với $7^x \equiv 1,3 \pmod{4}$
Từ các nhận xét trên suy ra trực tiếp $x=2k$ (chẵn)
Viết lại đề: $$7^x+24^x=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}+24^{2k}=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}=(y-24^k)(y+24^k)$$
Do $7$ nguyên tố nên $$\left\{\begin{array}{1}y-24^k=7^a \\y+24^k=7^b \\a+b=2k \end{array}\right.$$
Khi vậy lấy $y+24^k-(y-24^k)=7^b-7^a \rightarrow 2.24^k=7^a(7^{b-a}-1)$
Nhận xét $2.24^k$ không chia hểt cho $7$ nên $7^a=1 \leftrightarrow a=0$ khi đó $2.24^k=7^{b-1}-1=7^{2k-2}-1$ (do $a+b=1+b=2k$)
Suy ra $2.(2^3)^k.3^k=(7^{k-1}-1)(7^{k-1}+1)$
Lại có tiếp $(7^{k-1}+1)-(7^{k-1}-1)=2$ đồng thời tích hai số trên là số chẵn nên cả hai số đều chẵn mà hiệu là $2$ nên một số chỉ chia hết cho 2 (tức là chỉ chia hết cho 2 mà không phải 4)
TH1: $7^{k-1}-1=2.p$ (p lẻ ) khi vậy $7^{k-1}+1=(2^3)^k.q$ (q lẻ) như thế $2^{3k-1}q-p=1$ như vậy $gcd(p,q)=1$ do đó có một số bằng luôn $3^k$ còn số còn lại là $1$
Nhưng để đảm bảo $2^{3k-1}q-p=1 \rightarrow q=1,p=3^k \rightarrow 2^{3k-1}-3^k=1$
Thử một vài trường hợp có $k=1$ thỏa đề còn nếu $k>1$ thì $2^{3k-1}$ lớn hơn $3^k$ rất nhiều lần (chứng minh dễ bằng quy nạp)
TH2: $7^{k-1}-1=(2^3)^k.m$ (m lẻ) và $7^{k-1}+1=2.n$ (n lẻ) tương tự như trên có được $n-2^{3k-1}m=1 $ $\rightarrow n=3^k,m=1 \rightarrow 3^k-2^{3k-1}=1$
Đến đây ta có thể chứng minh quy nạp rằng $2^{3k-1}>3^k$ khi đó $3^k-2^{3k-1}$ âm do đó mâu thuẫn vì nó bằng 1
Tóm lại ta chỉ có $k=1$ thỏa đề hay $x=2k=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,25)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-03-2012 - 20:22


#3
NguyenHieuNghia

NguyenHieuNghia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Giải như sau:
Nếu $x=0$ thì loại vì $VT=2=y^2$ vô lý
Do đó $x\geq 1$
Nhận xét $24^x \equiv 0 \pmod{4}$ mà $y^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ kết hợp với $7^x \equiv 1,3 \pmod{4}$
Từ các nhận xét trên suy ra trực tiếp $x=2k$ (chẵn)
Viết lại đề: $$7^x+24^x=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}+24^{2k}=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}=(y-24^k)(y+24^k)$$
Do $7$ nguyên tố nên $$\left\{\begin{array}{1}y-24^k=7^a \\y+24^k=7^b \\a+b=2k \end{array}\right.$$
Khi vậy lấy $y+24^k-(y-24^k)=7^b-7^a \rightarrow 2.24^k=7^a(7^{b-a}-1)$
Nhận xét $2.24^k$ không chia hểt cho $7$ nên $7^a=1 \leftrightarrow a=0$ khi đó $2.24^k=7^{b-1}-1=7^{2k-2}-1$ (do $a+b=1+b=2k$)
Suy ra $2.(2^3)^k.3^k=(7^{k-1}-1)(7^{k-1}+1)$
Lại có tiếp $(7^{k-1}+1)-(7^{k-1}-1)=2$ đồng thời tích hai số trên là số chẵn nên cả hai số đều chẵn mà hiệu là $2$ nên một số chỉ chia hết cho 2 (tức là chỉ chia hết cho 2 mà không phải 4)
TH1: $7^{k-1}-1=2.p$ (p lẻ ) khi vậy $7^{k-1}+1=(2^3)^k.q$ (q lẻ) như thế $2^{3k-1}q-p=1$ như vậy $gcd(p,q)=1$ do đó có một số bằng luôn $3^k$ còn số còn lại là $1$
Nhưng để đảm bảo $2^{3k-1}q-p=1 \rightarrow q=1,p=3^k \rightarrow 2^{3k-1}-3^k=1$
Thử một vài trường hợp có $k=1$ thỏa đề còn nếu $k>1$ thì $2^{3k-1}$ lớn hơn $3^k$ rất nhiều lần (chứng minh dễ bằng quy nạp)
TH2: $7^{k-1}-1=(2^3)^k.m$ (m lẻ) và $7^{k-1}+1=2.n$ (n lẻ) tương tự như trên có được $n-2^{3k-1}m=1 $ $\rightarrow n=3^k,m=1 \rightarrow 3^k-2^{3k-1}=1$
Đến đây ta có thể chứng minh quy nạp rằng $2^{3k-1}>3^k$ khi đó $3^k-2^{3k-1}$ âm do đó mâu thuẫn vì nó bằng 1
Tóm lại ta chỉ có $k=1$ thỏa đề hay $x=2k=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,25)}$

khi mà a=0 thì  chỗ đó phải là 7^b chứ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh