Cho hệ phương trình ẩn x:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$
Tìm y để hpt có nghiệm.
Tìm y để hpt có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi sakura139, 19-03-2012 - 11:51
#1
Đã gửi 19-03-2012 - 11:51
#2
Đã gửi 19-03-2012 - 23:56
Giải như sau:Cho hệ phương trình ẩn x:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$
Tìm y để hpt có nghiệm.
TH1:
Thay $x=\sqrt{4-y^2}$ thu được
$$(5y+2)\sqrt{4-y^2}+3y^2+2y+4<0$$
Nhận xét $3y^2+2y+4=3(y+\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{11}{3}>0$ do đó $5y+2<0 \rightarrow y<\dfrac{-2}{5} \rightarrow y=-a$ với $a> \dfrac{2}{5}$
Khi đó viết lại $$3a^2-2a+4<(5a-2)\sqrt{4-a^2} \rightarrow (3a^2-2a+4)^2<(5a-2)^2*(4-y^2)$$ (vì hai vế >0)
Suy ra (sau khi phân tích nốt cái trên được) $a(a-\dfrac{16}{17})(a^2-2)<0$ kết hợp $a>\dfrac{2}{5}$ thì dễ rồi
Ra nghiệm ở Th này $\boxed{\dfrac{16}{17}<a<\sqrt{2} \rightarrow \dfrac{-16}{17}>y>-\sqrt{2}}$
TH2: $x=-\sqrt{4-y^2}$ thu được
$$-(5y+2)\sqrt{4-y^2}+3y^2+2y+4<0 \rightarrow 3y^2+2y+4<(5y+2)\sqrt{4-y^2}$$
Nhận xét y như trên có $3y^2+2y+4\geq \dfrac{11}{3}>0 \rightarrow 5y+2>0 \rightarrow y>-\dfrac{2}{5}$
Bây giờ có cả hai vể >0 nên ta bình phương chuyển vế như ban nãy thu được
$$y(y+\dfrac{16}{17})(y^2-2)<0$$
Đến đây dễ rồi kết hợp cả điều kiện $y>-\dfrac{2}{5}$ thu được 1 nghiệm $\boxed{0<y<\sqrt{2}}$
Vậy bài toán có 2 nghiệm:
$$\boxed{\dfrac{-16}{17}>y>-\sqrt{2}}$$
$$\boxed{0<y<\sqrt{2}}$$
Chú ý là hoặc nhé, hai nghiệm không đồng thời xảy ra, thử thay một vài giá trị vào thấy nghiệm đáng tin cậy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-03-2012 - 00:05
- sakura139, perfectstrong, nthoangcute và 2 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh