Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm y để hpt có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Cho hệ phương trình ẩn x:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$
Tìm y để hpt có nghiệm.

#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Cho hệ phương trình ẩn x:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + (5y+2)x+4y^2 + 2y<0 \end{matrix}\right.$
Tìm y để hpt có nghiệm.

Giải như sau:
TH1:
Thay $x=\sqrt{4-y^2}$ thu được
$$(5y+2)\sqrt{4-y^2}+3y^2+2y+4<0$$
Nhận xét $3y^2+2y+4=3(y+\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{11}{3}>0$ do đó $5y+2<0 \rightarrow y<\dfrac{-2}{5} \rightarrow y=-a$ với $a> \dfrac{2}{5}$
Khi đó viết lại $$3a^2-2a+4<(5a-2)\sqrt{4-a^2} \rightarrow (3a^2-2a+4)^2<(5a-2)^2*(4-y^2)$$ (vì hai vế >0)
Suy ra (sau khi phân tích nốt cái trên được) $a(a-\dfrac{16}{17})(a^2-2)<0$ kết hợp $a>\dfrac{2}{5}$ thì dễ rồi
Ra nghiệm ở Th này $\boxed{\dfrac{16}{17}<a<\sqrt{2} \rightarrow \dfrac{-16}{17}>y>-\sqrt{2}}$
TH2: $x=-\sqrt{4-y^2}$ thu được
$$-(5y+2)\sqrt{4-y^2}+3y^2+2y+4<0 \rightarrow 3y^2+2y+4<(5y+2)\sqrt{4-y^2}$$
Nhận xét y như trên có $3y^2+2y+4\geq \dfrac{11}{3}>0 \rightarrow 5y+2>0 \rightarrow y>-\dfrac{2}{5}$
Bây giờ có cả hai vể >0 nên ta bình phương chuyển vế như ban nãy thu được
$$y(y+\dfrac{16}{17})(y^2-2)<0$$
Đến đây dễ rồi kết hợp cả điều kiện $y>-\dfrac{2}{5}$ thu được 1 nghiệm $\boxed{0<y<\sqrt{2}}$
Vậy bài toán có 2 nghiệm:
$$\boxed{\dfrac{-16}{17}>y>-\sqrt{2}}$$
$$\boxed{0<y<\sqrt{2}}$$
Chú ý là hoặc nhé, hai nghiệm không đồng thời xảy ra, thử thay một vài giá trị vào thấy nghiệm đáng tin cậy :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-03-2012 - 00:05





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh