Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ
#101
Đã gửi 24-11-2012 - 08:16
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#102
Đã gửi 25-11-2012 - 09:21
2a+b+2b+c+2c+a<1+2a+b+c+1
Mọi người làm giúp mình nhá, thứ 2 mình phải nộp bài rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-01-2013 - 22:51
#103
Đã gửi 18-01-2013 - 22:54
Bài 51: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
2a+b+2b+c+2c+a<1+2a+b+c+1
Mọi người làm giúp mình nhá, thứ 2 mình phải nộp bài rồi
Đặt $2^a,2^b,2^c$ lần lượt là $a,b,c$
Ta có $Q.E.D\iff ab + ac + bc < 2abc +1$ ( với $a,b,c > 1$)
Đặt $a = x+1; b = y +1; c = z +1$ thì $x,y,z > 0$
BĐT $\iff 2xyz + (xy+yz+zx) > 0$ ( luôn đúng )
Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-01-2013 - 22:56
- Element hero Neos yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#104
Đã gửi 02-02-2013 - 15:46
Bài 60:
Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}_+^*$ , chứng minh.
$$a+b+c \le ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}$$
Bdt này chắc hẳn có nhiều ứng dụng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-02-2013 - 15:49
- Element hero Neos yêu thích
#105
Đã gửi 08-02-2013 - 09:41
Bài 58: Cho $x,y\in (0;1)$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm min $f(x;y)=x^y+y^x$
Bài này có lời giải không?
Vì khi $x$ đủ gần 1 và $y$ đủ gần 0 thì $f$ sẽ tiến về rất gần 1. Và bất đẳng thức $f > 1$ thì đúng nên việc tồn tại một giá trị nhỏ nhất của $f$ có vẻ hơi khó xảy ra. Mình chờ lời giải bài này nếu có.
Mình vừa post một bất đẳng thức trong topic riêng, nhưng cũng có thể cho nó vào mục này với những trường hợp đặc biệt:
Chứng minh các bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b$
$a^{a} + b^{b} \geq a^{b} + b^{a}$
$a^{2a} + b^{2b} \geq a^{2b} + b^{2a}$
$a^{ea} + b^{eb} \geq a^{eb} + b^{ea}$
Phủ định bất đẳng thức sau với $k > e$
$a^{ka} + b^{kb} \geq a^{kb} + b^{ka}$
Trong đó $e$ là hằng số trong logarith tự nhiên.
Liên quan đến bài toán này cũng có một vài điều thú vị với riêng mình, trường hợp với $e$ đã được đề xuất năm 2006 và được chứng minh hoàn toàn cách đây một vài năm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 11:18
#106
Đã gửi 08-02-2013 - 09:50
Khởi động lại topic.
Bài 60:
Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}_+^*$ , chứng minh.
$$a+b+c \le ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}$$
Bdt này chắc hẳn có nhiều ứng dụng
Không nhiều thời gian nên mình viết vắn tắt lời giải:
Chia cả 2 vế cho $a+b+c$ rồi dùng AM-GM. Chú ý $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$
Dấu bằng xét theo điều kiện của AM-GM thì được $a = b = c$ hoặc $d = 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 09:51
#107
Đã gửi 24-11-2015 - 15:17
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=2
Chứng minh
$(\frac{a}{b})^{a}(\frac{b}{c})^{b}(\frac{3c}{2})^{c}\geq \frac{4}{(b+c+\frac{2}{3})^{2}}$
#108
Đã gửi 08-06-2016 - 12:48
#109
Đã gửi 22-06-2016 - 14:21
Mình xin đóng góp bài này:
Nếu CodeCogsEqn.gift thì CodeCogsEqn (1).gif
FYI http://artofproblems...unity/c6h118722
#110
Đã gửi 27-11-2016 - 18:21
Sử dụng $AM-GM$ suy rộng, ta có :
$$1.a^bb^cc^a \le \left (\dfrac{ab + bc + ca}{a + b + c}\right )^{a + b + c} = ab + bc + ca \le \dfrac{(ab + bc + ca)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
$$2.a^{3c + b}b^{3a + c}c^{3b + a} \le \left (\dfrac{a(3c + b) + b(3a + c) + c(3b + a)}{4(a + b + c)}\right )^{4(a + b + c)}$$ $$ = \left (ab + bc + ca \right )^4 \le \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81}$$
Bạn ơi a,b,c không nguyên sao cô si cho a+b+c số được
#111
Đã gửi 27-11-2016 - 18:24
Các bạn cho mình hỏi Bất đẳng thức Bernoulin chỉ dùng cho mũ nguyên thôi đúng không
#112
Đã gửi 15-05-2018 - 21:05
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh