Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 19-03-2012 - 19:34

Mình xin được lập topic này để mọi người cùng bàn luận về vấn đề :"Bất đẳng thức chứa biến ở mũ". Mong mọi người, nếu có bài nào đặc sắc, có thể là tìm được trong tài liệu,dù chưa làm được hay đã làm thì hãy post lên để mọi người cùng làm và học hỏi kinh nghiệm của nhau. Bởi rất ít tài liệu chuyên sâu viết về dạng toán này. Đây có thể sẽ là một cơ hội để chúng ta có một cái nhìn rõ nét hơn về dạng toán hay của bất đẳng thức.
Tham gia tích cực nhé ! :icon6:

Để mở đầu, mình có một số bài toán sau :
Bài 1. (đã từng xuất hiên)
Cho các số thực $a, b, c > 0$
Chứng minh rằng :$$a^{b + c} + b^{a + c} + c^{a + b} \ge 1$$
Nguồn : Võ Quốc Bá Cẩn
Bài 2. Cho các số thực dương $a, b$ . Chứng minh rằng :$$a^b + b^a > 1$$
Bài 3.
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 ba cạnh của tam giác. Chúng minh rằng :
$$\left (a + b - c\right )^a\left (b + c - a\right )^b \left (c + a - b\right )^c \le a^ab^bc^c$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-03-2012 - 21:21

Bài 2: Nếu $a,b \ge 1$ thì BĐT đúng
Nếu $0<a,b<1$ áp dụng BĐT Bernoulli ta có: $(\frac{1}{a})^b=(1+\frac{1-a}{a})^b<1+\frac{b(1-a)}{a}<\frac{a+b}{a}\Rightarrow a^b>\frac{a}{a+b}$
Tương tự$b^a>\frac{b}{a+b}\Rightarrow a^b+b^a>1$

Nhờ mod OLYMPIC đưa topic này lên cao dùm :namtay
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-03-2012 - 21:24

Bài 4: Chứng minh rằng $a^a+b^b>1\forall a,b\in R^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-03-2012 - 21:54

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-03-2012 - 22:09

Bài 3.
Cho $a, b, c$ là độ dài 3 ba cạnh của tam giác. Chúng minh rằng :
$$\left (a + b - c\right )^a\left (b + c - a\right )^b \left (c + a - b\right )^c \le a^ab^bc^c$$

Bất đẳng thức đã cho $\Leftrightarrow (1+\frac{b-c}{a})^a(1-\frac{c-a}{b})^b(1+\frac{a-b}{c})^c\leq 1$
Đặt $a=\frac{m}{k},b=\frac{n}{k};c=\frac{p}{k}(m,n,p,k\in Z^+)$
Khi đó $VT=\sqrt[k]{(1+\frac{b-c}{a})^m(1+\frac{c-a}{b})^n(1+\frac{a-b}{c})^p}\leq \frac{m(1+\frac{n-p}{m})+n(1+\frac{p-m}{n})+p(\frac{m-n}{p})}{m+n+p}$
$=\frac {m+n+p}{m+n+p}=1$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#5 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 19-03-2012 - 22:31

Bài 4: Chứng minh rằng $a^a+b^b>1\forall a,b\in R^+$

Trường hợp 1. $a > 1$ hoặc $b > 1$ suy ra BĐT hiển nhiên đúng
Trường hợp 2. $a \le 1, b \le 1$
Sử dụng $bernoulli$ ta có $$\dfrac{1}{a^a} = \left (1 + \dfrac{1}{a} - 1\right )^a \le 1 + 1 - a = 2 - a < 2 \Leftrightarrow a^a \ge \dfrac{1}{2 - a} > \dfrac{1}{2}$$
Tương tự với $b$ cộng vế theo vế, suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-03-2012 - 22:41

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-03-2012 - 22:37

Bài 5: Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1] chứng minh rằng\[
\left( {2^x + 2^y + 2^z } \right)\left( {2^{ - x} + 2^{ - y} + 2^{ - z} } \right) \le \frac{{81}}{8}
\]
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 19-03-2012 - 22:44

Bài 6 . (trích "những bài toán chưa giải quyết )

Bài 2011.13.
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^{a^2}b^{b^2}c^{c^2}}{3\sqrt{3}} \ge a^{b^2+1}b^{c^2+1}c^{a^2+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 20-03-2012 - 00:00

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#8 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 21-03-2012 - 00:01

Bài 5: Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1] chứng minh rằng\[
\left( {2^x + 2^y + 2^z } \right)\left( {2^{ - x} + 2^{ - y} + 2^{ - z} } \right) \le \frac{{81}}{8}
\]

Ta có BĐT tương đương: \[\left( {{2^x} + {2^y} + {2^z}} \right)\left( {\frac{1}{{{2^x}}} + \frac{1}{{{2^y}}} + \frac{1}{{{2^z}}}} \right) \le \frac{{81}}{8}\]
Đặt :${2^x} = a;{2^y} = b;{2^z} = c \to a,b,c \in \left[ {1;2} \right]$
Ta có BĐT : \[\begin{array}{l}
\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \le \frac{{81}}{8} \\
\Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} \le \frac{{57}}{8} \\
\end{array}\]
Đến đây thì có khác gì câu V đề thi thử số 2 của VMF ta đâu nhỉ. :D
http://diendantoanho...showtopic=65834
P/s: Mỗi bài làm của các thí sinh nộp bài đều có một hướng xử lý bài này :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 21-03-2012 - 00:02

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#9 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 21-03-2012 - 00:06

Góp vui cùng Huy và Kiên 2 bài thi ĐH rồi đi ngủ :D .
Bài 7:
Chứng minh rằng :$\forall a,b,c/a + b + c = 3$ ta luôn có:

\[\frac{1}{{{3^a}}} + \frac{1}{{{3^b}}} + \frac{1}{{{3^c}}} \le 3\left( {\frac{a}{{{3^a}}} + \frac{b}{{{3^b}}} + \frac{c}{{{3^c}}}} \right)\]
Bài 8:
Cho $n \in N,n > 1$. Chứng minh rằng:

\[{\left( {1 + \frac{{{n^{\frac{1}{n}}}}}{n}} \right)^{\frac{1}{n}}} + {\left( {1 - \frac{{{n^{\frac{1}{n}}}}}{n}} \right)^{\frac{1}{n}}} < 2\]

Mọi người tham gia nhiệt tình nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#10 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-03-2012 - 00:12

Anh xin góp cho topic một bài.

Bài 9. Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0 \leqslant x,y,z \leqslant 2;x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$Q = {\left( {1 + {x^2}} \right)^x}{\left( {1 + {y^2}} \right)^y}{\left( {1 + {z^2}} \right)^z}$$

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-03-2012 - 10:33

Bài 7:
Chứng minh rằng :$\forall a,b,c/a + b + c = 3$ ta luôn có:
\[\frac{1}{{{3^a}}} + \frac{1}{{{3^b}}} + \frac{1}{{{3^c}}} \le 3\left( {\frac{a}{{{3^a}}} + \frac{b}{{{3^b}}} + \frac{c}{{{3^c}}}} \right)\]


Bài này của Việt với bài sau đây?

Cho $a>1$. $x+y+z=1.$ và $x,y,z$ là các số nguyên dương.
C/m: $\dfrac{1}{a^x}+\dfrac{1}{a^y}+\dfrac{1}{a^z}\geq 3(\dfrac{x}{a^x}+\dfrac{y}{a^y}+\dfrac{z}{a^z})$


Bất đẳng thức này tương đương với
\[\left( {\frac{1}{{{a^x}}} - \frac{1}{{{a^y}}}} \right)\left( {y - x} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^y}}} - \frac{1}{{{a^z}}}} \right)\left( {z - y} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^z}}} - \frac{1}{{{a^x}}}} \right)\left( {x - z} \right) \ge 0\]
(Đúng vậy ta có đpcm)


Việt nhầm dấu rồi.

#12 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-03-2012 - 16:09

Bài 5: Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1] chứng minh rằng\[
\left( {2^x + 2^y + 2^z } \right)\left( {2^{ - x} + 2^{ - y} + 2^{ - z} } \right) \le \frac{{81}}{8}
\]

Cách khác :P
Đặt $a = 2^x ,b = 2^y ,c = 2^z ( {1 \le a,b,c \le 2} )$
$$1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)\le0\Leftrightarrow a^2-3a+2\le0 \Leftrightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3(1)$$
Chứng minh tương tự
$$b+\frac{2}{b}\le 3(2)$$
$$c+\frac{2}{c}\le 3(3)$$
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
$$9 \ge \left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\mathop \ge 2\sqrt {\left( {a + b + c} \right)2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} $$
$$\Rightarrow \frac{{81}}{8} \ge (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Rightarrow (dpcm)$$
Tổng quát cho dạng bài này:
Cho n số $x_1;x_2;...;x_n\in [a;b],c>1$
Ta luôn có: $\left( {c^{x_1 } + c^{x_2 } + .... + c^{x_n } } \right)\left( {c^{ - x_1 } + c^{ - x_2 } + .... + c^{ - x_n } } \right) \le \frac{{\left[ {n\left( {c^a + c^b } \right)} \right]^2 }}{{4c^{a + b} }}$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#13 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-03-2012 - 17:02

Bài 10:Cho $a_1 ,a_2 ,...a_n > 0;r \ge 1.$ Chứng minh rằng.

$\frac{{a_1^r + a_2^r + .... + a_n^r }}{n} \ge \left( {\frac{{a_1 + a_2^{} + .... + a_n }}{n}} \right)^r $

Bài này có nhiều cách :P
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#14 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-03-2012 - 17:08

Bài 8:
Cho $n \in N,n > 1$. Chứng minh rằng:

\[{\left( {1 + \frac{{{n^{\frac{1}{n}}}}}{n}} \right)^{\frac{1}{n}}} + {\left( {1 - \frac{{{n^{\frac{1}{n}}}}}{n}} \right)^{\frac{1}{n}}} < 2\]


Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta có
$$\frac{{\underbrace {1 + ... + 1}_{(n - 1)times} + (1 + \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n})}}{n} > \sqrt[n]{{1 + \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n}}}$$

$$\frac{{\underbrace {1 + ... + 1}_{(n - 1)times} + (1 - \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n})}}{n} > \sqrt[n]{{1 - \frac{{\sqrt[n]{n}}}{n}}}$$
Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức không xảy ra. $\blacksquare$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#15 khapham_1411

khapham_1411

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Đã gửi 22-03-2012 - 21:27

$\sqrt[k]{(1+\frac{b-c}{a})^m(1+\frac{c-a}{b})^n(1+\frac{a-b}{c})^p}\leq \frac{m(1+\frac{n-p}{m})+n(1+\frac{p-m}{n})+p(\frac{m-n}{p})}{m+n+p}$


Bạn giải thích chỗ này kĩ cho mình được không :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khapham_1411: 22-03-2012 - 21:28


#16 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-03-2012 - 22:07

Bạn giải thích chỗ này kĩ cho mình được không :)

Đây là BĐT AM-GM suy rộng :)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#17 khapham_1411

khapham_1411

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Đã gửi 22-03-2012 - 22:22

Mình vẫn không hiểu. Nếu là AM-GM thì $\sqrt[m+n+p]{(1+\frac{b-c}{a})^m(1+\frac{c-a}{b})^n(1+\frac{a-b}{c})^p}\leq \frac{m(1+\frac{n-p}{m})+n(1+\frac{p-m}{n})+p(\frac{m-n}{p})}{m+n+p}$ chứ?

#18 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-03-2012 - 22:29

Mình vẫn không hiểu. Nếu là AM-GM thì $\sqrt[m+n+p]{(1+\frac{b-c}{a})^m(1+\frac{c-a}{b})^n(1+\frac{a-b}{c})^p}\leq \frac{m(1+\frac{n-p}{m})+n(1+\frac{p-m}{n})+p(\frac{m-n}{p})}{m+n+p}$ chứ?

Bạn chú ý là AM-GM suy rộng nhé
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#19 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-03-2012 - 22:31

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi $a\geq b>0$ ta có
$$(2^a+\frac{1}{2^a})^b\leq (2^b+\frac{1}{2^b})^a$$

Đề thi ĐH khối D năm nào thì phải :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 23-03-2012 - 21:26

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#20 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-03-2012 - 20:25

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi $a\geq b>0$ ta có
$$(2^a+\frac{1}{2^a})^b\leq (2^b+\frac{1}{2^b})^a$$

Đề thi ĐH khối D năm nào thì phải :)

Viết lộn đề rồi nhé Kiên.Phải là $2^{a}$ chứ không phải là $a^{a}$.
Bài này không khó ;) ,lấy logarit Ne-pe 2 vế,ta thu được:
$$\frac{\ln{\left(2^{a}+\frac{1}{2^{a}} \right)}}{a} \le \frac{\ln{\left(2^{b}+\frac{1}{2^{b}} \right)}}{b}$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh hàm $f(x)=\frac{\ln{\left(2^{x}+\frac{1}{2^{x}} \right)}}{x}$ la hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$ mà thôi.Cái này thì dễ rồi nhé ;)

Bài 6 . (trích "những bài toán chưa giải quyết )

Bài 2011.13.
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^{a^2}b^{b^2}c^{c^2}}{3\sqrt{3}} \ge a^{b^2+1}b^{c^2+1}c^{a^2+1}$$

Bài này thực ra là của anh sáng tác lâu rồi :P
Biến đổi BĐT về dạng sau:
$$a^{2b^2+c^2}b^{2c^2+a^2}c^{2a^2+b^2} \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$$
Để ý rằng:
$$\frac{2b^2+c^2}{3}+\frac{2c^2+a^2}{3}+\frac{2a^2+b^2}{3}=1$$
Nên theo BĐT AM-GM suy rộng:
$$a^{2b^2+c^2}b^{2c^2+a^2}c^{2a^2+b^2} \le \left[\frac{\sum a(2b^2+c^2)}{3} \right]^3=\left[\frac{\sum a(b^2+1-a^2)}{3} \right]^3$$
Như vậy ta chỉ cần phải chứng minh:
$$\sum a(b^2+1-a^2) \le \sqrt{3} \iff ab^2+bc^2+ca^2+(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3) \le \sqrt{3}(*)$$
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc \Rightarrow 0<p \le \sqrt{3};0<q \le 1;0<r \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$.Giả thuyết trở thành:$p^2-2q=1$.
Sử dụng 1 BĐT quen thuộc sau:
$$ab^2+bc^2+ca^2+abc \le \frac{4(a+b+c)^3}{27} \iff ab^2+bc^2+ca^2 \le \frac{4}{3\sqrt{3}}-r(p \le \sqrt{3})$$
Ta thu được:
$$VT_{(*)} \le \frac{4}{3\sqrt{3}}-r+p-[3r+p(1-q)]$$
Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{4}{3\sqrt{3}}+pq-4r \le \sqrt{3}$$
Theo BĐT Schur bậc 3:
$$r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{p(2q-1)}{9}$$
Nên ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{4}{3\sqrt{3}}+pq-\frac{4p(2q-1)}{9} \le \sqrt{3} \iff pq+4p \le 5\sqrt{3}$$
(Luôn đúng do $p \le \sqrt{3};q \le 1$).
Vậy BĐT đã được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh