Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#41 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 04-04-2012 - 20:47

Lời giải bài 21:
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$$P \ge 3\sqrt[6]{\left (4^a + 9^b + 16^c\right )\left (4^c + 9^a + 16^b\right )\left (4^b + 9^c + 16^a\right )} $$
Theo $Holder$ ta có :
$$\left (4^a + 9^b + 16^c\right )\left (4^c + 9^a + 16^b\right )\left (4^b + 9^c + 16^a\right ) \ge\left (\sqrt[3]{4^{a + b + c}} + \sqrt[3]{9^{a + b + c}} + \sqrt[3]{16^{a + b + c}}\right )^3 = (4 + 9 + 16)^3 = 3^9$$
Nên $$P \ge 3\sqrt[6]{3^9} = 3\sqrt{3}$$
Vậy $$P_{min} = 3\sqrt{3}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#42 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-04-2012 - 22:01

Bài 22: Cho 2 số dương x,y thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=x^x+y^y$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#43 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-04-2012 - 00:26

Bài 23:Cho a,b,c thực không âm thỏa $ab+bc+ac>0$. CMR với mọi $n\geq 2$ ta có
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-04-2012 - 01:18

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#44 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-04-2012 - 19:57

Anh xin góp cho topic một bài.

Bài 9. Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0 \leqslant x,y,z \leqslant 2;x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$Q = {\left( {1 + {x^2}} \right)^x}{\left( {1 + {y^2}} \right)^y}{\left( {1 + {z^2}} \right)^z}$$

Anh Thành có thể cho em xin lời giải bài này được không ạ ? Bài này em chỉ mới giải xong cho 1 trường hợp $0 \le x \le y \le 1 \le z \le 2$,còn lại trường hợp $0 \le x \le 1 \le y \le z \le 2$ thì......
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#45 Sunflower2

Sunflower2

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-04-2012 - 16:53

Bài 24 : [ Bất đẳng thức Triệu Văn Hưng ]

Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :

$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$

#46 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-04-2012 - 13:13

Bài 25: Cho các số thực $x,y,z$ chứng minh $$\sqrt{3+2011^{x+y-2z}}+\sqrt{3+2011^{y+z-2x}}+\sqrt{3+2011^{z+x-2y}}\ge 6$$
Thi thử ĐH
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#47 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 23-04-2012 - 21:00

Bài 24 : [ Bất đẳng thức Triệu Văn Hưng ]

Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :

$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$


Nhận xét : $a^{log_bc}=c^{log_ba}$ . Từ đó suy ngay kết quả .

#48 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 23-04-2012 - 21:07

Mọi người đem ra chém từ từ tập này hộ em cái: http://diendantoanho...showtopic=69336
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#49 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 23-04-2012 - 22:10

Bài 25: Cho các số thực $x,y,z$ chứng minh $$\sqrt{3+2011^{x+y-2z}}+\sqrt{3+2011^{y+z-2x}}+\sqrt{3+2011^{z+x-2y}}\ge 6$$
Thi thử ĐH


Theo BĐT Mixcopki và AM-GM ta có

$\sum \sqrt{3+2011^{x+y-2z}}\geq \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3})^2+(2011^{\frac{x+y-2z}{2}}+2011^{\frac{y+z-2x}{2}}+2011^{\frac{z+x-2y}{2}})^2}$

$\geq \sqrt{27+\left [ 3.\sqrt[3]{2011^{\frac{x+y-2z}{2}+\frac{y+z-2x}{2}+\frac{z+x-2y}{2}}} \right ]^2}=6$

#50 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 29-04-2012 - 09:52

Bài 15.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$3^{a + b + c} \ge \left (1 + \dfrac{a + b}{c}\right )^c\left (1 + \dfrac{b + c}{a}\right )^a\left (1 + \dfrac{c + a}{b}\right )^b$$
Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$

Bài 15 thực chất chỉa là sử dụng AM-GM suy rộng một cách trực tiếp :
$$\left (1 + \dfrac{a + b}{c}\right )^c\left (1 + \dfrac{b + c}{a}\right )^a\left (1 + \dfrac{c + a}{b}\right )^b\le \left (\dfrac{3(a+b+c)}{a+b+c}\right )^{a+b+c}=3^{a+b+c}$$
Bài 16 sai đề, đã được sửa lại :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#51 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-04-2012 - 10:42

Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$

$$(x^2+2yz)lnx+(y^2+2xz)lny+(z^2+2yx)lnz \ge (xy+yz+xz)ln(xyz) $$
$$ \Leftrightarrow (x-y)(x-z)lnx+(y-x)(y-z)lny+(z-y)(z-x)lnz \ge 0$$
Đây là $VSchur$
Trích vẻ đẹp bất đẳng thức qua các kì OLYMPIC VQBC- Trần Phương - TQA
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#52 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-05-2012 - 16:27

Mọi người đem ra chém từ từ tập này hộ em cái: http://diendantoanho...showtopic=69336

Mình nghĩ, nếu cần thì lập hẳn một topic lâu dài rồi giải quyết cái này (toàn là những bài siêu khủng, rất hay mà mình lại ngu tiếng Anh nên cũng chỉ dịch được một phần nhỏ) Mình xin ủng hộ đầu tiên. Đức Anh nghĩ như thế nào :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#53 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-05-2012 - 10:24

Bài 26: Cho a và b là hai số thực dương. Nếu $n\geq 1$, thì:
$$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\geq (\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b})\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}$$
(Polish Mathematical Olympiad 2009)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-05-2012 - 10:25

Thích ngủ.


#54 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-05-2012 - 11:55

Bài 26: Cho a và b là hai số thực dương. Nếu $n\geq 1$, thì:
$$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\geq (\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b})\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}$$
(Polish Mathematical Olympiad 2009)

Hình đã gửi
Bất đẳng thức cuối đúng theo Holder
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#55 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-05-2012 - 11:06

Bài 27: Cho $a,b,c,p,q,r>0$ thỏa $p+q+r=1$. Chứng minh rằng: $$a+b+c\geq a^pb^qc^r+a^rb^pc^q+a^qb^rc^p$$
Bài 28: Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh rằng $$a^ab^bc^c\geq a^bb^cc^a$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#56 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-05-2012 - 20:09

Bài 23:Cho a,b,c thực không âm thỏa $ab+bc+ac>0$. CMR với mọi $n\geq 2$ ta có
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$$


Chém chú này.

Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[\sqrt[n]{{\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {n - 1} \right)}}{c}}} \le \frac{{\left( {\left( {n - 1} \right)\frac{{a + b}}{c}} \right) + \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{n - 1}\,\,\,\,\text{số}}}{n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{nc}}\]
\[ \Rightarrow \sqrt[n]{{\frac{c}{{a + b}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{c}{{a + b + c}}\]
Tương tự: \[\sqrt[n]{{\frac{b}{{c + a}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{b}{{a + b + c}},\,\,\,\,\,\,\sqrt[n]{{\frac{a}{{b + c}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}}\frac{a}{{a + b + c}}\]
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\[\sqrt[n]{{\frac{a}{{b + c}}}} + \sqrt[n]{{\frac{b}{{c + a}}}} + \sqrt[n]{{\frac{c}{{a + b}}}} \ge \frac{n}{{n - 1}}\sqrt[n]{{n - 1}} \ge 2 \Rightarrow Q.E.D\]

#57 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-05-2012 - 20:18

Bài 24 : [ Bất đẳng thức Triệu Văn Hưng ]

Cho $a,b,c >1$ , chứng minh rằng :

$a^{log_bc}+b^{log_ca}+c^{log_ab}\geq 3\sqrt[3]{abc}$


Tiếp chú này.

$a,b,c > 1 \Rightarrow {\log _b}c > 0,\,\,{\log _c}b > 0$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[{a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}a}} = {a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}} = {a^{{{\log }_b}c}} + {a^{{{\log }_c}b}} \ge 2\sqrt {{a^{{{\log }_b}c}}{a^{{{\log }_c}b}}} \]
\[ = 2\sqrt {{a^{{{\log }_b}c + {{\log }_c}b}}} \ge 2\sqrt {{a^{2\sqrt {{{\log }_b}c{{\log }_c}b} }}} = 2a\]
Tương tự: \[{b^{{{\log }_c}a}} + {c^{{{\log }_a}b}} \ge 2b,\,\,\,\,\,{c^{{{\log }_a}b}} + {a^{{{\log }_b}c}} \ge 2c\]
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\[{a^{{{\log }_b}c}} + {b^{{{\log }_c}a}} + {c^{{{\log }_a}b}} \ge a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow Q.E.D\]

#58 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-05-2012 - 20:23

Mệt rồi, để lại bài này vậy.

Bài 29. Với số tự nhiên $n \ge 2$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{\sqrt[n]{{n!}}}}{{\sqrt[{n + 1}]{{\left( {n + 1} \right)!}}}} \ge {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^{\frac{n}{{n + 1}}}}\]

#59 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-05-2012 - 13:44

Bài 16.
Cho các số $x, y, z \ge 1$ . Chứng minh rằng :
$$x^{x^2 + 2zy}y^{y^2 + 2xz}z^{z^2 + 2xy} \ge \left (xyz\right )^{xy + yz + zx}$$


Cách khác: Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
$$x^{x^2-xy-xz+yz}y^{y^2+xz-yx-yz}z^{z^2+xy-yz-xz}\geq 1$$
$$\iff x^{(x-y)(x-z)}y^{(y-x)(y-z)}z^{(z-x)(z-y)}\geq 1$$
$$\iff(\frac{x}{y})^{x-y}.(\frac{y}{z})^{y-z}(\frac{x}{z})^{x-z}\geq 1$$
Điều này đúng do $x\geq y\geq z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-07-2012 - 12:01

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#60 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 18-05-2012 - 17:19

Bài 30: Cho $a,b\in N$ . Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})^{a+b}}\geq a^ab^b$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-05-2012 - 17:19

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh