Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#61 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 23-05-2012 - 14:18

Bài 30: Cho $a,b\in N$ . Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})^{a+b}}\geq a^ab^b$$

Lấy logarit nepe 2 vế ta có
$$(a+b)ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})}\geq aln(a)+bln(b)\Leftrightarrow ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})}\geq \frac{a}{a+b}ln(a)+\frac{b}{b+a}ln(b)$$

Áp dụng BĐT Jensen ta có
$$\frac{a}{a+b}ln(a)+\frac{b}{b+a}ln(b)\leq ln(\frac{a^2+b^2}{a+b}).$$
Ta cần chứng minh : $$(\frac{a^2+b^2}{a+b})^3\leq \frac{a^4+b^4}{a+b}\Leftrightarrow (a^2+b^2)^3\leq (a+b)^2(a^4+b^4)$$
$$\Leftrightarrow a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+a^6\leq a^6+a^2b^4+2a^5b+2ab^5+a^2b^4+b^6\Leftrightarrow a^4b^2+b^2a^4\leq a^5b+ab^5$$
$$\Leftrightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq ab(a^4+b^4)\Leftrightarrow a^3b+ab^3\leq a^4+b^4$$
BĐT cuối dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương. Vậy ta có điều cần chứng minh $\square$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#62 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 23-05-2012 - 20:23

Bài 27: Cho $a,b,c,p,q,r>0$ thỏa $p+q+r=1$. Chứng minh rằng: $$a+b+c\geq a^pb^qc^r+a^rb^pc^q+a^qb^rc^p$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng ta có
$$RHS\leq ap+bq+rc+ar+bp+cq+qa+rb+cp=a+b+c=VT$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#63 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-05-2012 - 12:26

Bài 31: Cho $a,b>0$ và $x,c>1$. Chứng minh rằng:
$$x^{a^c } + x^{b^c } \ge 2x^{(ab)^{c/2} }$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#64 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-06-2012 - 12:34

Bài 32: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$ ta có
$$(1+\frac{1}{a})^b(1+\frac{1}{b})^c(1+\frac{1}{c})^a\geq 1+\frac{1}{ab+bc+ac}$$

Marius and Sorin Radulescu


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#65 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 03-06-2012 - 17:46

Bài 32: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$ ta có
$$(1+\frac{1}{a})^b(1+\frac{1}{b})^c(1+\frac{1}{c})^a\geq 1+\frac{1}{ab+bc+ac}$$

Marius and Sorin Radulescu


Xét hàm số:$$f(x)=ln\left ( 1+\frac{1}{x} \right ),\forall x>0 $$
Đạo hàm $$f'(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}.\frac{-1}{x^2}=\frac{-1}{x^2+x}$$
$$f''(x)=\frac{2x+1}{\left [ x(x+1) \right ]^2}>0$$
Suy ra hàm số lồi.
Theo BĐT Jensen suy rộng, ta có:$$bf(a)+cf(b)+af(c)\geq f(ab+bc+ca)$$
$$\Rightarrow b.ln\left ( 1+\frac{1}{a} \right )+c.ln\left ( 1+\frac{1}{b} \right )+a.ln\left ( 1+\frac{1}{c} \right )\geq ln\left ( 1+\frac{1}{ab+bc+ca} \right )$$

$$\rightarrow (1+\frac{1}{a})^b(1+\frac{1}{b})^c(1+\frac{1}{c})^a\geq 1+\frac{1}{ab+bc+ac}$$

#66 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-06-2012 - 11:18

Bài 33: Cho $a,y,z$ là các số thực dương. Đặt $s=x+y+z;a=y+z;b=x+z;c=x+y$. Chứng minh rằng:$$a) s^sx^xy^yz^z\leq a^ab^bc^c$$
$$b) s^{ss}x^{xx}y^{yy}z^{zz}\leq a^{aa}b^{bb}c^{cc}$$

Malio


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#67 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 06-06-2012 - 13:15

Bài 31: Cho $a,b>0$ và $x,c>1$. Chứng minh rằng:
$$x^{a^c } + x^{b^c } \ge 2x^{(ab)^{c/2} }$$

Theo BĐT Am-gm ta có: $x^{a^c}+x^{b^c}\geq 2\sqrt{x^{a^c+b^c}}=2x^{\frac{a^c+b^c}{2}}$

Cũng theo AM-GM thì: $\frac{a^c+b^c}{2}\geq \frac{2\sqrt{(ab)^c}}{2}=(ab)^{\frac{c}{2}}$

Và dễ thấy hàm số $y=f(x)=x^{\alpha}$ đồng biến nên

$x^{a^c}+x^{b^c}\geq 2\sqrt{x^{a^c+b^c}}=2x^{\frac{a^c+b^c}{2}}\geq 2x^{(ab)^{\frac{c}{2}}}$

#68 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-06-2012 - 17:45

Bài 34: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$. Chứng minh rằng:
1) $a^ab^b+ab\geq 2$
2) $a^ab^b+3ab\leq 4$
3) $a^bb^a+2\geq 3ab$
Bài 35:Nếu $a,b\in (0;1]$ thì $$a^{b-a}+b^{a-b}\leq 2$$
Bài 36: Chứng minh rằng nếu $a\geq b\geq 0$ thì $$a^{b-a}\leq 1+\frac{a-b}{\sqrt{a}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-06-2012 - 17:49

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#69 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 12-06-2012 - 20:17

Bài 34: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$. Chứng minh rằng:
1) $a^ab^b+ab\geq 2$
2) $a^ab^b+3ab\leq 4$
3) $a^bb^a+2\geq 3ab$


Một ý tưởng cho câu 1 nhé. Không mất tổng quát, giả sử $a\geq b$. Đặt $a=1+x,b=1-x$ với $x\in [0;1)$

Thay vào, ta cần chứng minh: $$(1+x)^{1+x}.(1-x)^{1-x}+(1-x^2)\geq 2\Leftrightarrow (1+x)^{1+x}.(1-x)^{1-x}\geq 1+x^2$$
Lấy Logarit tự nhiên hai vế, ta cần chứng minh $$f(x)=(1+x).ln(1+x)+(1-x).ln(1-x)-ln(1+x^2)\geq 0$$
$$f'(x)=ln(1+x)+1-ln(1-x)-1-\frac{2x}{1+x^2}$$
$$f''(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-\frac{-2x^2+2}{(1+x^2)^2}=2.\left [ \frac{1}{1-x^2}+\frac{x^2-1}{(1+x^2)^2} \right ]=\frac{2.4x^2}{(1-x^2)(1+x^2)^2}\geq 0$$
Suy ra $f'(x)$ đồng biến, $\Rightarrow f'(x)\geq f'(0)=ln1-ln1=0$

Suy ra $f(x)$ đồng biến, $\Rightarrow f(x)\geq f(0)=2.ln1-ln1=0$ ĐPCM.

Hai câu sau chắc cũng tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 13-06-2012 - 06:25


#70 Jewellery

Jewellery

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-06-2012 - 01:06

Bài 37: Cho $0<a,b<1$. Chứng minh $$(\frac{a}{b})^a+(\frac{b}{a})^b\geq 2$$

#71 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 26-06-2012 - 18:56

Bài 37: Cho $0<a,b<1$. Chứng minh $$(\frac{a}{b})^a+(\frac{b}{a})^b\geq 2$$

Áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$ ta có
$$\large {(\frac{b}{a})^a\leq b+1-a\Rightarrow (\frac{a}{b})^a\geq \frac{1}{b+1-a}}$$
Tương tự ta có: $$\large {(\frac{b}{a})^b\geq \frac{1}{a+1-b}}$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-HM$ ta có $$\large {(\frac{a}{b})^a+(\frac{b}{a})^b\geq \frac{4}{2}=2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b\,\,\,\, \square$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#72 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 26-06-2012 - 19:29

Bài 38: Nếu $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$ thì $$\large {a^bb^a+2\geq 3ab}$$
Bài 39: Cho $a,b$ là hai số thực dương. Nếu $0\leq k\leq e$ thì $$\large{a^{ka}+b^{kb}\geq a^{bk}+b^{ka}}$$
Bài 40: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$. Chứng minh rằng: $$\large {a^{a+ab}b^{b+ab}\geq 1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 26-06-2012 - 23:00

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#73 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-06-2012 - 11:01

Bài 41: Cho các số $0<a,b,c,d<1$. Chứng minh rằng $$(\frac{a+b}{2})^{\frac{c+d}{2}}+(\frac{b+c}{2})^{\frac{a+d}{2}}+(\frac{c+d}{2})^{\frac{a+b}{2}}+(\frac{a+d}{2})^{\frac{b+c}{2}}>2$$
The mathematical Gazette
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#74 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-07-2012 - 23:48

Bài 41: Cho các số $0<a,b,c,d<1$. Chứng minh rằng $$(\frac{a+b}{2})^{\frac{c+d}{2}}+(\frac{b+c}{2})^{\frac{a+d}{2}}+(\frac{c+d}{2})^{\frac{a+b}{2}}+(\frac{a+d}{2})^{\frac{b+c}{2}}>2$$
The mathematical Gazette

Bài này thực chất là hệ quả của BĐT :
$$a^b+b^a>1 (a,b>0)$$
Theo đó :
$\left (\dfrac{a+b}{2}\right )^{\dfrac{c+d}{2}}+\left (\dfrac{c+d}{2}\right )^{\dfrac{a+b}{2}}>1$
$\left (\dfrac{b+c}{2}\right )^{\dfrac{a+d}{2}}+\left (\dfrac{a+d}{2}\right )^{\dfrac{b+c}{2}}>1$
Cộng lại, suy ra ĐPCM.

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#75 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-07-2012 - 10:07

Bài 42: Cho các số dương $a_1;a_2;...a_n$ và $b_1;b_2;...b_n$. Chứng minh rằng $$\large {(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n})^{b_1+b_2+...+b_n}\geq (\frac{a_1}{b_1})^{b_1}(\frac{a_2}{b_2})^{b_2}...(\frac{a_n}{b_n})^{b_n}}$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#76 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 03-07-2012 - 11:53

Bài 42: Cho các số dương $a_1;a_2;...a_n$ và $b_1;b_2;...b_n$. Chứng minh rằng $$\large {(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n})^{b_1+b_2+...+b_n}\geq (\frac{a_1}{b_1})^{b_1}(\frac{a_2}{b_2})^{b_2}...(\frac{a_n}{b_n})^{b_n}}$$

Xét hàm số $f(x)=lnx \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{x^2}$. Suy ra hàm số lõm.

Áp dụng BĐT Jensen suy rộng, $$t_1.f(x_1)+t_2.f(x_2)+...+t_n.f(x_n)\leq f(t_1x_1+t_2x_2+...+t_nx_n)$$ với $t_1+t_2+...+t_n=1$ ta được:
$$\frac{b_1}{\sum b_k}.f\left ( \frac{a_1}{b_1} \right )+\frac{b_2}{\sum b_k}.f\left ( \frac{a_2}{b_2} \right )+...+\frac{b_n}{\sum b_k}.f\left ( \frac{a_n}{b_n} \right )$$
$$\leq f\left ( \frac{b_1}{\sum b_k}.\frac{a_1}{b_1}+...+\frac{b_n}{\sum b_k}.\frac{a_n}{b_n} \right )=f\left ( \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n} \right )$$
$$\Leftrightarrow b_1.f\left ( \frac{a_1}{b_1} \right )+...+b_n.f\left ( \frac{a_n}{b_n} \right )\leq (b_1+b_2+...+b_n).f\left ( \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n} \right )$$
$$\Leftrightarrow b_1.ln\frac{a_1}{b_1}+...+b_n.ln\frac{a_n}{b_n}\leq (b_1+b_2+...+b_n).ln\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}$$
$$\Leftrightarrow \left ( \frac{a_1}{b_1} \right )^{b_1}.\left ( \frac{a_2}{b_2} \right )^{b_2}...\left ( \frac{a_n}{b_n} \right )^{b_n}\leq \left ( \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n} \right )^{b_1+b_2+...+b_n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 03-07-2012 - 12:01


#77 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-07-2012 - 21:20

Bài 43: Cho $a,b,c\geq \frac{1}{2}$ thỏa $a+b+c=2$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=a^a+b^b+c^c$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#78 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 04-07-2012 - 19:00

Bài 43: Cho $a,b,c\geq \frac{1}{2}$ thỏa $a+b+c=2$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=a^a+b^b+c^c$$

Làm cách này thấy hơi lạ lạ với cái đề. Theo BĐT AM-GM ta có
$$VT\geq 3\sqrt[3]{a^a.b^b.c^c}$$
Ta sẽ chứng minh $$a^a.b^b.c^c\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c}$$
Thật vậy xét hàm số $f(x)=x.lnx\Rightarrow f'(x)=lnx+1\Rightarrow f''(x)=\frac{1}{x}>0$. Suy ra hàm số lồi
Áp dụng BĐT Jensen, ta có
$$f(a)+f(b)+f(c)\geq 3.f\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )=3.f\left (\frac{2}{3} \right )$$
$$\Rightarrow a^a.b^b.c^c\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c}=\left ( \frac{2}{3} \right )^2$$
Thay vào BĐT trên ta được $VT\geq 3\sqrt[3]{\left ( \frac{2}{3} \right )^2}=3.\left ( \frac{2}{3} \right )^{\frac{2}{3}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

#79 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-07-2012 - 20:28

Bài 44:
Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác và $\alpha\geq \beta\geq 1$.Chứng minh
a) $$(\frac{3a}{2b+c})^{\alpha}+(\frac{3b}{2c+a})^{\alpha}+(\frac{3c}{2a+b})^{\alpha}\geq (\frac{3a}{2b+c})^{\beta}+(\frac{3b}{2c+a})^{\beta}+(\frac{3c}{2a+b})^{\beta}$$
b)$$(\frac{3a}{2b+2c-a})^{\alpha}+(\frac{3b}{2a+2c-b})^{\alpha}+(\frac{3c}{2a+2b-c})^{\alpha}\geq (\frac{3a}{2b+2c-a})^{\beta}+(\frac{3b}{2a+2c-b})^{\beta}+(\frac{3c}{2a+2b-c})^{\beta}$$
Bài 45:
Ch0 $a,b,c,\alpha>\beta>0$ Chứng minh:
$$(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}\geq (\frac{a^2}{bc})^{\beta}+(\frac{b^2}{ac})^{\beta}+(\frac{c^2}{ab})^{\beta}$$
Bài 46:
Ch0 $a,b,c>0,\alpha\geq \beta\geq \frac{2}{3}$.Chứng minh:
$$(\frac{2a}{b+c})^{\alpha}+(\frac{2b}{a+c})^{\alpha}+(\frac{2c}{a+b})^{\alpha}\geq (\frac{2a}{b+c})^{\beta}+(\frac{2b}{a+c})^{\beta}+(\frac{2c}{a+b})^{\beta}$$
Bài 47:Cho $a,b,c>0,\alpha \geq \beta\geq 1$.Chứng minh:
a)$$[\frac{6(a+b-3c)^2}{2c^2+(a+b)^2}]^{\alpha}+[\frac{6(a+c-3b)^2}{2b^2+(a+c)^2}]^{\alpha}+[\frac{6(c+b-3a)^2}{2a^2+(b+c)^2}]^{\alpha}\geq [\frac{6(a+b-3c)^2}{2c^2+(a+b)^2}]^{\beta}+[\frac{6(a+c-3b)^2}{2b^2+(a+c)^2}]^{\beta}+[\frac{6(c+b-3a)^2}{2a^2+(c+b)^2}]^{\beta}$$
b)$$[\frac{9a^3}{a^3+(b+c)^3}]^{\alpha}+[\frac{9b^3}{b^3+(a+c)^3}]^{\alpha}+[\frac{9c^3}{c^3+(a+b)^3}]^{\alpha}\geq [\frac{9a^3}{a^3+(b+c)^3}]^{\beta}+[\frac{9b^3}{b^3+(a+c)^3}]^{\beta}+[\frac{9c^3}{c^3+(b+a)^3}]^{\beta}$$
@@MOD nào gộp topic này vô topic BĐT chứa biến ở mũ bên Olympiad dùm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-07-2012 - 10:11

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#80 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 14-07-2012 - 10:18

Mấy bài trên nhìn lạ lạ sao ấy =.=
Bài 48: Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh rằng: $$2^a(b+c)^{1-a}+2^b(c+a)^{1-b}+2^c(a+b)^{1-c}<4(a+b+c)$$
Bài 49: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh $$\sqrt{a^{1-a}b^{1-b}c^{1-c}}\le \frac{1}{3}$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh