Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#81 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-07-2012 - 11:50

Lâu rồi không tự sướng cũng buồn :(.Chìa khóa để giải những bài trên là:
Áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$:
$\to t^{\frac{\alpha}{\beta}}+(\frac{\alpha}{\beta}-1)\geq \frac{\alpha}{\beta}.t$ (Với $\alpha>\beta>0\to\frac{\alpha}{\beta}>1$
Khi đó đặt $u=t^{\frac{1}{\beta}}\Leftrightarrow t=u^{\beta}$ và ta sẽ có:
$$\boxed{u^{\alpha}+(\frac{\alpha}{\beta}-1)\geq \frac{\alpha}{\beta}.u^{\beta}\forall u>0,\alpha>\beta>0}$$
Gọi tạm là BĐT $Bernoulli(*)$
Bài 44a:
Áp dụng bất đăng thức $Bernoulli(*)$ ta có:
$(\frac{3a}{2b+c})^{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq \frac{\alpha}{\beta}(\frac{3a}{2b+c})^{\beta}$ , $(\frac{3b}{2c+a})^{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq \frac{\alpha}{\beta}(\frac{3b}{2c+a})^{\beta}$ và$\frac{3c}{2a+b}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq \frac{\alpha}{\beta}(\frac{3c}{2a+b})^{\beta}$
Cộng 3 bđt trên ta có:
$$(\frac{3a}{2b+c})^{\alpha}+(\frac{3b}{2c+a})^{\alpha}+(\frac{3c}{2a+b})^{\alpha}+3(\frac{\alpha}{\beta}-1)\geq \frac{\alpha}{\beta}[(\frac{3a}{2b+c})^{\beta}+(\frac{3b}{2c+a})^{\beta}+(\frac{3c}{2a+b})^{\beta}] (1)$$
Mặt khác lại có:
$(\frac{3a}{2b+c})^{\alpha}+(\frac{3b}{2c+a})^{\alpha}+(\frac{3c}{2a+b})^{\alpha}\geq \frac{3a}{2b+c}+\frac{3b}{2c+a}+\frac{3c}{2a+b}=3(\frac{a^2}{2ab+ac}+\frac{b^2}{2bc+ba}+\frac{c^2}{2ac+bc})\geq 3\frac{(a+b+c)^2}{3ab+3bc+3ca}\geq 3$ (Do $\alpha\geq 1$)
Nên $(\frac{\alpha}{\beta}-1)[(\frac{3a}{2b+c})^{\alpha}+(\frac{3b}{2c+a})^{\alpha}+(\frac{3c}{2a+b})^{\alpha}]\geq 3(\frac{\alpha}{\beta}-1) (2)$
Cộng 2 bđt (1) và (2) vế the0 vế rồi chia ch0 $\frac{\alpha}{\beta}$ ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-07-2012 - 11:52

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#82 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-07-2012 - 12:06

Bài 44b tương tụ bài 44a
Bài 45:
Áp dụng BĐT $Bernoulli(*)$ ta có:
$(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq (\frac{a^2}{bc})^{\beta}$ ,$(\frac{b^2}{ac})^{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq (\frac{b^2}{ac})^{\beta}$ và $(\frac{c^2}{ab})^{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}-1\geq (\frac{c^2}{ab})^{\beta}$
Cộng 3 bđt trên ta có:
$$(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+3(\frac{\alpha}{\beta}-1)\geq \frac{\alpha}{\beta}[(\frac{a^2}{bc})^{\beta}+(\frac{b^2}{ac})^{\beta}+(\frac{c^2}{ab})^{\beta}](1)$$
Và mặt khác lại áp dụng Cô si 3 số có:
$(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}\geq 3$
$\to (\frac{\alpha}{\beta}-1)(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}+(\frac{a^2}{bc})^{\alpha}\geq 3(\frac{\alpha}{\beta}-1)(2)$
Cộng (1) và(2) vế the0 vế sau đó chia 2 vế bđt mới ch0 $\frac{\alpha}{\beta}$ ta có đpcm
Biết cách làm rồi thì có vẻ những bài này trở nên khá dễ nhỷ :P

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#83 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-07-2012 - 12:42

Mấy bài trên nhìn lạ lạ sao ấy =.=
Bài 48: Cho $0<a,b,c<1$. Chứng minh rằng: $$2^a(b+c)^{1-a}+2^b(c+a)^{1-b}+2^c(a+b)^{1-c}<4(a+b+c)$$
Bài 49: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh $$\sqrt{a^{1-a}b^{1-b}c^{1-c}}\le \frac{1}{3}$$

Bài 48:
Áp dụng BĐT $AM-GM$ suy rộng ta có:
$2^a(b+c)^{1-a}\leq 2a+(b+c)(1-a)=2a+b+c-ab-ac$
Tương tự và cộng lại ta có:
$2^a(b+c)^{1-a}+2^b(a+c)^{1-b}+2^c(a+b)^{1-b}\leq 4(a+b+c)-2(ab+bc+ca)<4(a+b+c)$
Vật ta có ĐPCM
Bài 49:
Nhận thấy do $a+b+c=1$ Nên $\frac{1-a}{2}+\frac{1-b}{2}+\frac{1-c}{2}=1$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ suy rộng ta có:
$\sqrt{a^{1-a}+b^{1-b}+c^{1-c}}=a^{\frac{1-a}{2}}+b^{\frac{1-b}{2}}+a^{\frac{1-c}{2}}\leq \frac{a(1-a)}{2}+\frac{b(1-b)}{2}+\frac{c(1-c)}{2}$
Nên bi h ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{a(1-a)}{2}+\frac{b(1-b)}{2}+\frac{c(1-c)}{2}\leq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3[(1-a)a+(1-b)b+(1-c)c]\leq 2$
$\Leftrightarrow 3(a+b+c)\leq 3(a^2+b^2+c^2)+2$
$\Leftrightarrow 1\leq 3(a^2+b^2+c^2) (*)$
Thật vậy áp dụng bĐT Cô si ta có:
$a^2+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a$
Tương tự và cộng lại $\to a^2+b^2+c^2+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{2}{3}$
$\to a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$
Vậy bđt (*) đúng
Vật bđt đầu đúng.Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#84 ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hội những người độc thân thích chém gió !

Đã gửi 15-07-2012 - 16:03

Bài 38: Nếu $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$ thì $$\large {a^bb^a+2\geq 3ab}$$

Giải quyết bài tồn đọng:
Ta cần chứng minh:$a^{b}.b^{a}+2=a^{2-a}.b^{2-b}+2=\frac{a^{2}.b^{2}}{a^{a}.b^{b}}+2\geq 3ab$
$$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+2a^{a}b^{b}\geq 3aba^{a}b^{b}$$
$$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}-aba^{a}b^{b}+2a^{a}b^{b}-2aba^{a}b^{b}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(1-a^{a-1}b^{b-1})+2a^{a}b^{b}(1-ab)\geq 0$$
Vì $2a^{a}b^{b}(1-ab)\geq 0$ do $ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}= 1\Leftrightarrow 1-ab\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(1-ab)\geq 0$ nên ta cần c/m:$a^{2}b^{2}(1-a^{a-1}b^{b-1})$
Không mất tính tổng quát,giả sử:$a\geq b$
Ta có:
$$a^{a-1}b^{b-1}\leq a^{a-1}.a^{b-1}=a^{a+b-1-1}=1\Leftrightarrow 1-a^{a-1}b^{b-1}\geq 0\Leftrightarrow 2a^{a}b^{b}(1-a^{a-1}b^{b-1})\geq 0$$
Vậy,bài toán được c/m.

Hình đã gửi


#85 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 16-07-2012 - 01:25

Bài 38: Nếu $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$ thì $$\large {a^bb^a+2\geq 3ab}$$

Theo bđt Becnuli ta có:
$a^bb^a+2\geq [1+b(a-1)].[1+a(b-1)]+2 \geq a^2b^2+ab+1 \geq 3ab$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#86 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 16-07-2012 - 01:57

Theo bđt Becnuli ta có:
$a^bb^a+2\geq [1+b(a-1)].[1+a(b-1)]+2 \geq a^2b^2+ab+1 \geq 3ab$

Bài này chắc phát xét thêm TH nữa mới dùng Bernoulli kiểu này được ạ, Vì chưa biết $a,b$ có $\ge 1$ hay không.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#87 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-07-2012 - 20:57

Bài 50: Cho $0<x<1$. Chứng minh rằng: $x+\frac{1}{x^x}<2$
OIMU 2008
Bài 51: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=6$ ta có $$a^b+a^c+b^c+b^a+c^a+c^b\geq \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2}$$
Trần Quốc Anh
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#88 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-07-2012 - 10:42

Bài 52: Cho $a_1;a_2;...a_n$ là các số tự nhiên phân biệt và số thực cho trước $x\ge 1$. Tìm GTNN của $$\frac{a_1^x\ln a_1+a_2^x\ln a_2+...+a_n^x\ln a_n}{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#89 Akira Vinh HD

Akira Vinh HD

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Closed !

Đã gửi 28-07-2012 - 12:55

C.50:
$f(x) = x+\frac{1}{x^x}= x+x^{-x} \Rightarrow f' =1 -x^x(\ln x+ 1)$
Ta CM $f' > 0 \forall x\in (0, 1)$
$\Leftrightarrow x^x(\ln x+1) < 1$
Do $x\in (0,1) \Rightarrow 0<x^x<1, \ln x+ 1<1$ , suy ra $f(x)' > 0$
$\Rightarrow f(x)< f(1)= 2\blacksquare \blacksquare \blacksquare $ ^_^
Hình đã gửi

#90 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 28-07-2012 - 13:15

Bài 50: Cho $0<x<1$. Chứng minh rằng: $x+\frac{1}{x^x}<2$
OIMU 2008

Cách 2: Sụng dụng BĐT AM-GM suy rộng ta có $$\frac{1}{x^x}=(\frac{1}{x})^x.1^{1-x}\le \frac{1}{x}x+1-x=2-x$$
Do $0<x<1$ nên ta có điều cần chứng minh.
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#91 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-07-2012 - 20:01

Anh xin góp cho topic một bài.

Bài 9. Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0 \leqslant x,y,z \leqslant 2;x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$Q = {\left( {1 + {x^2}} \right)^x}{\left( {1 + {y^2}} \right)^y}{\left( {1 + {z^2}} \right)^z}$$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y\ge z$. Từ điều kiện ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x + y \le 3 = 2 + 1\\
x + y + z = 3 = 2 + 1 + 0
\end{array} \right.\]
Xét hàm số $f(x)=x\ln (1+x^2)$ với $x\ge 0$. Dế thấy $f''(x) \ge 0$.
Áp dụng Bất đẳng thức Karamata ta có
$$\begin{align*}
& f(2)+f(1)+f(0) \ge f(x)+f(y)+f(z) \\
&\Rightarrow 2.\ln 5+1.\ln 2+0. \ln 1\ge x \ln(1+x^2)+y\ln (1+y^2)+z\ln(1+z^2) \\
&\Rightarrow \ln 50 \ge \ln[(1+x^2)^x(1+y^2)^y(1+z^2)^z] \\
&\Rightarrow 50\ge (1+x^2)^x(1+y^2)^y(1+z^2)^z=Q
\end{align*}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#92 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 17-08-2012 - 17:39

Hâm nóng lại topic.
Bài toán 53 [ Tham Lang]
Cho $x,y$ là các số thực dương và $a,b$ là tham số dương. Tìm GTNN của :
$$\dfrac{1}{xy}+x^a+y^b$$
Sau đó, hãy mở rộng bài toán .

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#93 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 26-08-2012 - 18:45

Bài 54: Cho $a,b,c>0$ chứng minh $a^ab^bc^c\geq abc^{\frac{a+b+c}{3}}$
Canada 1995
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 26-08-2012 - 18:46

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#94 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 26-08-2012 - 20:28

Bài 54: Cho $a,b,c>0$ chứng minh $a^ab^bc^c\geq abc^{\frac{a+b+c}{3}}$
Canada 1995

Spoiler

Cách 1, sử dụng BĐT Jensen cho hàm lồi $f(x)=x.lnx$ với $x>0$, ta được:
$$a.lna+b.lnb+c.lnc\geq 3.\frac{a+b+c}{3}.ln\frac{a+b+c}{3}\Leftrightarrow a^ab^bc^c\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{a+b+c}\geq (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$$
Cách 2, lấy logarit hai vế, ta được:
$$a^{3a}b^{3b}c^{3c}\geq (abc)^{a+b+c}\Leftrightarrow \sum 3a.lna\geq \sum (a+b+c).lna\Leftrightarrow \sum (2a-b-c).lna\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b).(lna-lnb)+(b-c).(lnb-lnc)+(c-a).(lnc-lna)\geq 0$$
Đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 26-08-2012 - 20:29


#95 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 26-08-2012 - 21:32

Bài 54: Cho $a,b,c>0$ chứng minh $a^ab^bc^c\geq abc^{\frac{a+b+c}{3}}$
Canada 1995

Spoiler

Giả sử $a\ge b \ge c$
Ta có bđt tương đương:
\[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{a - b}}.{\left( {\frac{b}{c}} \right)^{b - c}}.{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{a - c}} \ge 1\]
Ta thấy ngay ĐPCM

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#96 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-09-2012 - 17:11

Bài 55: Cho $a,b,c>0;a+b+c=\frac{9}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của $$S=(a+\sqrt{a^2+1})^b(b+\sqrt{b^2+1})^c(c+\sqrt{c^2+1})^a$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-09-2012 - 17:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#97 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 12-09-2012 - 10:57

Bài 56: Cho $x;y\in (0;1)$. Chứng minh $$\begin{pmatrix}
\frac{x}{y}
\end{pmatrix}^x\begin{pmatrix}
\frac{1-x}{1-y}
\end{pmatrix}^{1-x}\ge 1$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#98 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2012 - 14:03

Bài 55: Cho $a,b,c>0;a+b+c=\frac{9}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của $$S=(a+\sqrt{a^2+1})^b(b+\sqrt{b^2+1})^c(c+\sqrt{c^2+1})^a$$

Do $a+b+c=\frac{9}{4}$ Nên $ab+bc+ca\leq \frac{27}{16}$ và $\frac{4a}{9}+\frac{4b}{9}+\frac{4c}{9}=1$.Áp dụng $AM-GM$ suy rộng ta có:
$$\sqrt[9]{S^4}=(a+\sqrt{a^2+1})^{4b/9}(b+\sqrt{b^2+1})^{4c/9}(c+\sqrt{c^2+1})^{4a/9}$$
$$\leq \frac{4}{9}.\left((a+\sqrt{a^2+1}).b+(b+\sqrt{b^2+1}).c+(c+\sqrt{c^2+1}).a\right)$$
Và the0 $AM-GM$ lại có:
$$(a+\sqrt{a^2+1}).b+(b+\sqrt{b^2+1}).c+(c+\sqrt{c^2+1}).a$$
$$=ab+bc+ca+\frac{2}{5}.\sum \left[\left(2.\frac{5}{4}.\sqrt{a^2+1}.b\right)\right]$$
$$\leq ab+bc+ca+\frac{2}{5}.\sum \left(a^2b+\frac{41}{16}.b\right)$$
$$=ab+bc+ca+\frac{2}{5}.(a^2b+b^2c+c^2a)+\frac{41}{40}(a+b+c)$$
$$=ab+bc+ca+\frac{2}{5}.(a^2b+b^2c+c^2a)+\frac{369}{160}$$
$$\leq ab+bc+ca+\frac{2}{5}.\left[\frac{4}{27}.(a+b+c)^3-abc\right]+\frac{369}{160}$$
$$=ab+bc+ca-\frac{2}{5}abc+\frac{477}{160}$$
(Vì $a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3-abc$)
ĐẶt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q\leq \frac{27}{16},abc=r$ ta có:
$$(a+\sqrt{a^2+1}).b+(b+\sqrt{b^2+1}).c+(c+\sqrt{c^2+1}).a$$
$$\leq q-\frac{2}{5}r+\frac{477}{160}$$
Mà mặt khác the0 $Schur$ thì $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=q-\frac{81}{64}$
Nên
$$q-\frac{2}{5}r+\frac{477}{160}\leq \frac{3}{5}q+\frac{279}{80}$$
$$\leq \frac{3}{5}.\frac{27}{16}+\frac{279}{80}=\frac{9}{2}$$
Vậy $\sqrt[9]{S^4}\leq \frac{9}{2}$ Hay $S_{MAX}=\sqrt[4]{\frac{9}{2}}^9$ với $a=b=c=\frac{3}{4}$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-09-2012 - 14:04

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#99 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-09-2012 - 14:52

Bài 56: Cho $x_{i} \ge \frac{1}{2}(i=1;2;...)$.Chứng minh:
$$\prod_{i=1}^{n}\left(1+\frac{2x_{i}}{3} \right)^{2x_{i}} \ge \left(\frac{4}{3} \right)^{n}\sqrt{\prod_{i=1}^{n}(x_{i}+x_{i+1})}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#100 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-09-2012 - 20:30

Bài 57: Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $t$ là một số thực dương. Chứng minh $t^{x-y}+t^{y-z}+t^{z-x}\ge t^x+t^y+t^z$
Đề thi HSG lớp 12 Nam Định -2006
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh