Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#101 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 24-11-2012 - 08:16

Bài 58: Cho $x,y\in (0;1)$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm min $f(x;y)=x^y+y^x$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#102 dandelion13

dandelion13

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-11-2012 - 09:21

Bài 51: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
2a+b+2b+c+2c+a<1+2a+b+c+1
Mọi người làm giúp mình nhá, thứ 2 mình phải nộp bài rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-01-2013 - 22:51


#103 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 18-01-2013 - 22:54

Bài 51: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
2a+b+2b+c+2c+a<1+2a+b+c+1
Mọi người làm giúp mình nhá, thứ 2 mình phải nộp bài rồi


Đặt $2^a,2^b,2^c$ lần lượt là $a,b,c$
Ta có $Q.E.D\iff ab + ac + bc < 2abc +1$ ( với $a,b,c > 1$)

Đặt $a = x+1; b = y +1; c = z +1$ thì $x,y,z > 0$

BĐT $\iff 2xyz + (xy+yz+zx) > 0$ ( luôn đúng )

Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-01-2013 - 22:56

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#104 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 02-02-2013 - 15:46

Khởi động lại topic.

Bài 60:

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}_+^*$ , chứng minh.

$$a+b+c \le ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}$$

Bdt này chắc hẳn có nhiều ứng dụng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-02-2013 - 15:49

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#105 eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 08-02-2013 - 09:41

Bài 58: Cho $x,y\in (0;1)$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm min $f(x;y)=x^y+y^x$


Bài này có lời giải không?

Vì khi $x$ đủ gần 1 và $y$ đủ gần 0 thì $f$ sẽ tiến về rất gần 1. Và bất đẳng thức $f > 1$ thì đúng nên việc tồn tại một giá trị nhỏ nhất của $f$ có vẻ hơi khó xảy ra. Mình chờ lời giải bài này nếu có.

Mình vừa post một bất đẳng thức trong topic riêng, nhưng cũng có thể cho nó vào mục này với những trường hợp đặc biệt:

Chứng minh các bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b$

$a^{a} + b^{b} \geq a^{b} + b^{a}$

$a^{2a} + b^{2b} \geq a^{2b} + b^{2a}$

$a^{ea} + b^{eb} \geq a^{eb} + b^{ea}$

Phủ định bất đẳng thức sau với $k > e$

$a^{ka} + b^{kb} \geq a^{kb} + b^{ka}$

Trong đó $e$ là hằng số trong logarith tự nhiên.

Liên quan đến bài toán này cũng có một vài điều thú vị với riêng mình, trường hợp với $e$ đã được đề xuất năm 2006 và được chứng minh hoàn toàn cách đây một vài năm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 11:18


#106 eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 08-02-2013 - 09:50

Khởi động lại topic.

Bài 60:

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}_+^*$ , chứng minh.

$$a+b+c \le ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}$$

Bdt này chắc hẳn có nhiều ứng dụng


Không nhiều thời gian nên mình viết vắn tắt lời giải:

Chia cả 2 vế cho $a+b+c$ rồi dùng AM-GM. Chú ý $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$

Dấu bằng xét theo điều kiện của AM-GM thì được $a = b = c$ hoặc $d = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 09:51


#107 hummels

hummels

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 24-11-2015 - 15:17

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=2

Chứng minh

$(\frac{a}{b})^{a}(\frac{b}{c})^{b}(\frac{3c}{2})^{c}\geq \frac{4}{(b+c+\frac{2}{3})^{2}}$



#108 NamTueMinh

NamTueMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Đại Học Vinh

Đã gửi 08-06-2016 - 12:48

Mình xin đóng góp bài này: 

Nếu CodeCogsEqn.gif thì CodeCogsEqn (1).gif



#109 eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 22-06-2016 - 14:21

Mình xin đóng góp bài này: 

Nếu attachicon.gifCodeCogsEqn.gift thì attachicon.gifCodeCogsEqn (1).gif

 

FYI http://artofproblems...unity/c6h118722 :D



#110 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 27-11-2016 - 18:21

Sử dụng $AM-GM$ suy rộng, ta có :
$$1.a^bb^cc^a \le \left (\dfrac{ab + bc + ca}{a + b + c}\right )^{a + b + c} = ab + bc + ca \le \dfrac{(ab + bc + ca)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
$$2.a^{3c + b}b^{3a + c}c^{3b + a} \le \left (\dfrac{a(3c + b) + b(3a + c) + c(3b + a)}{4(a + b + c)}\right )^{4(a + b + c)}$$ $$ = \left (ab + bc + ca \right )^4 \le \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81}$$

Bạn ơi a,b,c không nguyên sao cô si cho a+b+c số được 



#111 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 27-11-2016 - 18:24

Các bạn cho mình hỏi Bất đẳng thức Bernoulin chỉ dùng cho mũ nguyên thôi đúng không



#112 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết

Đã gửi 15-05-2018 - 21:05

amh em gop them bai tap cho phong phu nhes




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh