Lấy logarit nepe 2 vế ta cóBài 30: Cho $a,b\in N$ . Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})^{a+b}}\geq a^ab^b$$
$$(a+b)ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})}\geq aln(a)+bln(b)\Leftrightarrow ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})}\geq \frac{a}{a+b}ln(a)+\frac{b}{b+a}ln(b)$$
Áp dụng BĐT Jensen ta có
$$\frac{a}{a+b}ln(a)+\frac{b}{b+a}ln(b)\leq ln(\frac{a^2+b^2}{a+b}).$$
Ta cần chứng minh : $$(\frac{a^2+b^2}{a+b})^3\leq \frac{a^4+b^4}{a+b}\Leftrightarrow (a^2+b^2)^3\leq (a+b)^2(a^4+b^4)$$
$$\Leftrightarrow a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+a^6\leq a^6+a^2b^4+2a^5b+2ab^5+a^2b^4+b^6\Leftrightarrow a^4b^2+b^2a^4\leq a^5b+ab^5$$
$$\Leftrightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq ab(a^4+b^4)\Leftrightarrow a^3b+ab^3\leq a^4+b^4$$
BĐT cuối dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương. Vậy ta có điều cần chứng minh $\square$