Bài 1:a) Cho $a;b;c$ là các số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^{2}}{ab}+\frac{(b+c)^{2}}{bc}+\frac{(c+a)^{2}}{ca}\geq 9+ 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
b)Cho $x,y,z$ là các số dương. Tìm $P max$ biết:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}$
Tìm $P max$ biết: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}$
Bắt đầu bởi cvp, 19-03-2012 - 20:06
#1
Đã gửi 19-03-2012 - 20:06
#2
Đã gửi 19-03-2012 - 20:57
Giải :
a. Ta có $$VT = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + 6 $$ $$= \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} \right ) + 6 + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right )$$ $$ \ge 3 + 6 + 2\left (\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b}\right )$$
b. Ta có
$$\sqrt{\dfrac{a}{b + c + 2a}} = \dfrac{\sqrt{a(b + c + 2a)}}{b + c + 2a} \le \dfrac{b + c + 2a + 4a}{4(b + c + 2a)} = \dfrac{a}{b + c + 2a} +\dfrac{1}{4}$$
Tương tự với các số còn lại suy ra :
$$P \le \dfrac{3}{4} + \dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b + 2c}$$
Lại có :
$$\dfrac{3}{2} - \left ( \dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b - 2c}\right ) = \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b + c}{b + c + 2a} + \dfrac{c + a}{c + a + 2b} + \dfrac{a + b }{a + b + 2c}\right )$$ $$= \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{(b + c)^2}{b^2 + c^2 + 2bc + 2ab + 2ac} + \dfrac{(a + c)^2}{a^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca} + \dfrac{(a + b)^2}{a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca}\right )$$ $$ \ge \dfrac{1}{2}\dfrac{4(a + b + c)^2}{2(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) + 2(ab + bc + 2ca)} $$ $$\ge \dfrac{1}{2}\dfrac{4(a + b + c)^2}{\dfrac{8(a + b + c)^2}{3}} = \dfrac{3}{4}$$
Nên $$\dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b + 2c} \le \dfrac{3}{4}$$
Suy ra $$P_{max} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$$
a. Ta có $$VT = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + 6 $$ $$= \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} \right ) + 6 + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right )$$ $$ \ge 3 + 6 + 2\left (\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b}\right )$$
b. Ta có
$$\sqrt{\dfrac{a}{b + c + 2a}} = \dfrac{\sqrt{a(b + c + 2a)}}{b + c + 2a} \le \dfrac{b + c + 2a + 4a}{4(b + c + 2a)} = \dfrac{a}{b + c + 2a} +\dfrac{1}{4}$$
Tương tự với các số còn lại suy ra :
$$P \le \dfrac{3}{4} + \dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b + 2c}$$
Lại có :
$$\dfrac{3}{2} - \left ( \dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b - 2c}\right ) = \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b + c}{b + c + 2a} + \dfrac{c + a}{c + a + 2b} + \dfrac{a + b }{a + b + 2c}\right )$$ $$= \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{(b + c)^2}{b^2 + c^2 + 2bc + 2ab + 2ac} + \dfrac{(a + c)^2}{a^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca} + \dfrac{(a + b)^2}{a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca}\right )$$ $$ \ge \dfrac{1}{2}\dfrac{4(a + b + c)^2}{2(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) + 2(ab + bc + 2ca)} $$ $$\ge \dfrac{1}{2}\dfrac{4(a + b + c)^2}{\dfrac{8(a + b + c)^2}{3}} = \dfrac{3}{4}$$
Nên $$\dfrac{a}{b + c + 2a} + \dfrac{b}{a + c + 2b} + \dfrac{c}{a + b + 2c} \le \dfrac{3}{4}$$
Suy ra $$P_{max} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-03-2012 - 21:00
- cvp, nthoangcute, minhtuyb và 1 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#3
Đã gửi 20-03-2012 - 18:15
Cách khác cho phần b ;Bài 1:a) Cho $a;b;c$ là các số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^{2}}{ab}+\frac{(b+c)^{2}}{bc}+\frac{(c+a)^{2}}{ca}\geq 9+ 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
b)Cho $x,y,z$ là các số dương. Tìm $P max$ biết:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}$
Áp dụng Cauchy-schwarz :
$ P^{2}\leq 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c})$
$ \leq 3(\frac{a}{(a+c)+(a+b)}+\frac{b}{(b+a)+(b+c)}+\frac{c}{(c+a)+(c+b)})$
$ \leq 3.\frac{1}{4}(\frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})$
( áp dụng $ \frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ )
$ \leq 3.\frac{1}{4}.3= \frac{9}{4}$
$ \Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$
-------------------------------------------
Phần a hình nhu trg Toán Học Tuổi Trẻ , mình dùng S.O.S nhg ko ngắn bằng cách anh Huymit đặc .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 20-03-2012 - 18:37
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh