Chủ đề này có 22 trả lời

[quantum-cohomology]

Mình sắp tới chắc phải học món Hình học phức này, nên mở ra cái topic nhằm thảo luận chơi chơi 1 chút. Nhân tiện cũng hỏi luôn là ở Việt Nam có ai đang hoạt động trong lãnh vực này không nhỉ. Đây là lãnh vực tổng hợp của nhiều bộ môn, Hình học đại số, giải tích phức, Topo vi phân, và toán lý. Mở đầu 1 chút với đa tạp phức, định nghĩa giống như đa tạp thực, nhưng thay vì transition functions là hàm khả vi vô hạn, ta dùng hàm holomorphic. Như vậy 1 đa tạp phức luôn có 1 underlying real manifold. Tuy nhiên không phải đa tạp thực nào cũng admit complex structure. Bạn có thể chỉ ra điều này không? Hãy lấy thử ví dụ các mặt cầu, http://dientuvietnam...etex.cgi?S^{2n}, hãy cm rằng chỉ có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^2 là 1 đa tạp phức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 26-09-2005 - 22:30

[TQFT]

Hey thằng QC kia, sao chơi mọi người ác thế.
S^2 là đa tạp hầu phức và là đa tạp phức. (thỏa mãn điều kiện khả tích)
S^4 không phải là đa tạp hầu phức (Ehresman và Hopf)
S^6 hầu phức và đến nay có phải là phức hay không vẫn còn là giả thuyết.
S^8 và các chiều cao hơn không phải là đa tạp hầu phức.

[quantum-cohomology]

híc híc, topological quantum fields theory, tên nghe hay nhỉ. Chưa kịp nói đến almost complex structure thì TQFT đã nhắc tới rồi. Chưa nghe thấy điều kiện khả tích (Integrable criterion ???) bao giờ, chịu không biết. Còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^2 có thể mường tượng cực kỳ đơn giản, đó là 1 compact Riemann surface, do đó là 1-dimensional complex manifold. .

[pizza]

" Điều kiện khả tích " (theo mình nghĩ ) có nguồn gốc từ đl Frobenius trong ptvp. Đại thê là các dạng cấu trúc không chứa kiểu (0,2) . Từ đk này , sử dụng đl Fro người ta cm được là luôn có 1 cấu trúc phức ( đương nhiên là duy nhất) cảm sinh từ cấu trúc " hầu phức khả tích " .

[Doraemon]

@ pizza:
bác nói rõ hơn được không

[pizza]

Không hiểu Doreamon cần nói rõ cái gì ? Nếu là đn cấu trúc hầu phức thì đại thể là một đa tạp kvvh X có số chiều 2n và không gian tiếp xúc T_a(X) có cấu trúc phức . Ngoài ra , nếu tại mỗi điểm a có 1 lân cận mà trên đó một họ n dạng phức bậc 1 thỏa mãn một đk gọi là đk tương thích thì đa tạp gọi là hầu phức , còn n dạng đó gọi là dạng cấu trúc . Khi đó ta cũng có thể nó về dang (p,q) trên đa tạp hầu phức

Với đa tạp phức thì mỗi dạng w kiểu (p,q) đều có vp dw là tổng của 2 dạng kiểu (p+1,q) và (p.q+1) ( suy ra ngay từ đn ) nhưng trên đa tạp hầu phức thì ko đúng . Nó là tổng của bốn dạng . Nguyên nhân là vp của các dạng cấu trúc có phân tích chính tắc thành tổng 3 dạng kiểu (2,0) , (0,2) và (1,1) . Nếu gán thêm đk là trong phân tích ko có kiểu (0,2) thì đa tạp hầu phức gọi là khả tích .

Cm từ "hầu phức khả tích " --> phức thì rất dài ( sách nói vậy ) . Bác thử tìm xem .
Nirenberg
Complex analytic co-ordinates in almost complex manifolds .
Ann . Math , 65 (1957)

Trong cuốn Anal on real and complex manifolds của Naraximhan có cm đl này trong trường hợp kém tổng quát hơn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 30-09-2005 - 13:36

[TQFT]

Mot cau truc hau phuc J cam sinh tren phuc hoa cua phan tho tiep xuc ,ot phan tich thanh tong cua hai phan bo. Khi phan bo nay kha tich thi cau truc hau phuc tro thanh cau truc phuc, tuc la ton tai du nhieu cac ham gia chinh hinh.Khi do co the chung minhmoc Niẻnberg
N[v,w] triet tieu.

[quantum-cohomology]

Chẳng qua chỉ là đại số tuyến tính thôi mà.
Đại khái về almost complex là như thế này: 1 complex structure J trên tangent bundle của 1 real manifold M được gọi là almost complex structure trên M, cặp (M,J) được gọi là almost complex manifold. Người ta có splitting của complexified tangent bundle http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda là exterior product.
Bởi vậy splitting của Differential http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{\partial}-Operator, và Dolbeault Cohomology của nó. Trong trường hợp 1 chiều thì Cohomology này hoàn toàn trivial nếu chọn D là 1 miền của mặt phẳng phức. Tuy nhiên higher dimension thì hoàn toàn khác.
Almost complex manifold quan trọng cả trong Hình học symplectic. Điều kiện Integrable nói chung thì mình không biết. Nhưng của 1 symplectic manifold thì có biết đôi chút. 1 symplectic manifold http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega-compatible complex structure J, J được gọi là Integrable nếu nó associated với complex manifold structure X trên M. Vậy thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega được viết dưới dạng:
. Dạng Form này được gọi là Kählerian nếu ma trận Levi positive definite.
Bằng việc đưa vào Fubini-Study form người ta cmr mọi smooth projective algebraic variety là Kählerian. 1 cách hiểu khác cho đa tạp Kähler đó là quotient của đa tạp phức với discrete groups

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 30-09-2005 - 18:05

[TQFT]

Đồng ý đối xứng gương là một cái trò rất hay, liên hệ 1-1 giữa một bên là hình hoc đại số, một bên là hình học symplectic. Tuy nhiên nó không nằm trong topic này.Cách đây 1 tuần mới nghe một thằng bên Mit nói về miror xong nhưng chưa nắm được mấy.

[pizza]

Cái khó nằm ở chỗ -Operator, và Dolbeault Cohomology của nó.

Đối đông điều Dolbeult (Db) thì tớ không biết , nhưng có đl Dolbeault khẳng định rằng
H^k( ,O _ )=0 k 1 khi là đa đĩa mở trong C^n còn O_ là bó vành các mầm hàm chỉnh hình trên . Không biết có phải đây là đối đồng điều Db như Quantum muốn nói không .

Cm cái này hết sức phức tạp . Ngoài ra cũng tính được một số tr.h khác như thay cho O _ bằng bó mạch lạc ( coherent ) t.m điều kiện nhúng được vào một giải hữu hạn hay trường hợp bó mạch lạc trên đa tạp Stein . Kết quả đều giông tr.h trên .

Không biết các bác có quan tâm đến cái gọi là không gian giải tích (Analytic space) không nhỉ ? Cái này là suy rộng đa tạp giải tích phức theo cách khác hẳn cách " hầu phức " và nó cũng gần với mấy vấn đề trên hơn là " đa tạp hầu phức " . Hy vọng sẽ được các bác chỉ giáo thêm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 01-10-2005 - 18:13

[TQFT]

Không gian giải tích thì không biết.Pizza có thể viêt một chút về cái này đi.
Còn cái này thì không phải là dd DolBeault, mà là đối đồng điều với hệ số trên bó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TQFT: 02-10-2005 - 12:52

[string]

cac bac ai biet ve calabi yau manifold khong?

[quantum-cohomology]

có biết chút về Calabi-Yau manifold.
To Pizza: Dolbeault cohomology là cohomology của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{\partial}-Operator, nó không liên quan gì tới định lý của cậu nói. Tuy nhiên, định lý đó đúng là dùng Dolbeault cohomology rồi đấy, trong trường hợp 1 chiều thì disc, hoặc trong nhiều chiều thì Polydisc có Dolbeault cohomology trivial. Định lý Pizza đưa ra có lẽ phát biểu còn mạnh hơn vì coefficient như Pizza nói đó là bó vành các mầm hàm chỉnh hình. Mình chưa biết cái định lý này nhiều lắm.
Tôi cũng muốn nghe đôi điều về analytic spaces, bác nào có thời gian thì post lên cái cho anh em học hỏi với.

[pizza]

Ý của Quantum có phải nói đến các nhóm H^p=Z*^p/B*^p của các dạng kiểu (0,p) đóng (Z*^p)và đúng (B*^p) trong miền D theo d* ( cái toán tử có gạch trên đầu mình ko viết đc nên dùng tạm kí hiệu d* ) . Nói cách khác là tương tự như đđđ DeRham có phải không ? Nếu đúng thì nó đẳng cấu với đđđ của bó vành các mầm hàm chỉnh hình cũng giông như đđđ DeRham đẳng cấu với bó hằng thôi .

Về kg giải tích thì mình không hiểu mấy . Nếu ko ai viết thì mình sẽ làm liều một phát

[quantum-cohomology]

Không, Dolbeault cohomology khác De Rham cohomology rất nhiều.

[pizza]

Lạ nhỉ . Nếu được thì Quantum có thể post lên cho mình xem không . Tớ vẫn nghi nó đẳng cấu với đối đồng điều với hệ số trong bó vành các mầm hàm chỉnh hình .

Sắp tới , mình hơi bận nên sẽ post về analytic space sau ( chắc phải hơn tháng nữa ) .

[quantum-cohomology]

Mình có 1 thắc mắc nho nhỏ. Cho Z là 1 đa tạp phức liên thông, U là 1 miền mở theo nghĩa Zariski. Liệu (Z,U) có làm thành 1 CW-pair không nhỉ? Ý mình muốn hỏi là liệu homotopy extension problem có giải được trong trường hợp này không?

[pizza]

Mình có 1 thắc mắc nho nhỏ. Cho Z là 1 đa tạp phức liên thông, U là 1 miền mở theo nghĩa Zariski. Liệu (Z,U) có làm thành 1 CW-pair không nhỉ? Ý mình muốn hỏi là liệu homotopy extension problem có giải được trong trường hợp này không?

Mình không hiểu lắm về câu hỏi của Quantum . Bạn nói đến miền mở theo nghĩa Zariski là sao ? Theo mình hiểu thì chỉ có khái niệm tập mở Zariski trên sp® với R là vành giao hoán .
Còn CW-pair mình cũng ko biết ( từng nghe nói đến CW-cặp đa diện trong lý thuyết đồng luân nhưng chưa gặp bao giờ ) nhưng đoán là liên quan đến CW-phân chia ( decomposition ) ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 14-11-2005 - 17:26

[quantum-cohomology]

Tập mở zariski mà pizza nhắc đến trong commutative ring thì có khác gì trong complex analysis đâu. Nếu cậu xét trường hợp riêng là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n, thì X\U sẽ là 1 analytic domain, nếu sử dụng định lý Riemann ( không chắc là của Riemann ) thì đại số các hàm holomorph trên X sẽ đẳng cấu với đại số các hàm holomorph trên U nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}, nói 1 cách khác thì global các hàm holomorph là constant. Do đó .
Các khái niệm codim, cũng như analytic domain chẳng qua là Sheaf theory trong algebraic geometry cũng như commutative algebra thôi.

[quantum-cohomology]

đa tạp phức hay hơn đa tạp thực ở chỗ đó, nó có thể biểu diễn local thông qua zero set của holomorphic functions hoặc của polynomials 1 cách rất explizit. Nếu trong đa tạp thực đối tượng quan trọng bậc nhất là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n thì trong đa tạp phức quan trọng là hay tổng quát hơn nữa là Grassmannian. Phần này mình thấy khó nhất là cells decompose của Grassmannian. Bác nào chuyên môn về lãnh vực này cũng như Fano manifolds thì làm vào đây vài cái nào.