Chủ đề này có 2 trả lời

[kieumy]

Các bạn ơi, giúp mình giải bài này nhé:

Cho $(Y, \delta)$ là không gian metric. Đặt: $d: YxY \rightarrow \mathbb{R};\,\,\,\, d(x,y)=\frac{\delta(x,y)}{1+\delta(x,y)}$.
a) CMR d là một metric trên Y.
b) CM $\delta$ và d sinh ra cùng một tô pô trên Y.

PS: Ở câu a) mình còn bị bí khi kiểm tra bất đẳng thức tam giác của d. Các bạn hướng dẫn cho mình cách giải nhé. Còn câu b) thì chả biết để chứng minh điều đó thì phải CM cái j nữa, hic..

[phuc_90]

Câu a) : Chứng minh $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$

hay $\frac{\delta(x,y)}{1+\delta(x,y)} \leq \frac{\delta(x,z)}{1+\delta(x,z)}+\frac{\delta(z,y)}{1+\delta(z,y)}$

BĐT này luôn đúng. Thật vậy, để thấy rỏ hơn thì bạn chỉ cần đặt

$a=\delta(x,z)$ , $b=\delta(z,y)$ , $c=\delta(x,y)$ khi đó $a,b,c \geq 0$ và $a+b \geq c$

Ta luôn có $\frac{c}{1+c} \leq \frac{a+b}{1+a+b}$

do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{a+b}{1+a+b} \leq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

Cái này hiển nhiên vì $\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b} \leq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

Câu b) : Nhớ ko lầm thì nó kêu chứng minh $d,\delta$ là tương đương nhau của topo nào đó trên $Y$ @_^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 26-03-2012 - 20:36

[kieumy]

Cảm ơn bạn đã giúp mình câu a. Bạn giải dễ hiểu lắm. Còn câu b, chính xác là đề bài yêu cầu như thế, câu này là đề thi TS cao học của trường KHTN TP.HCM 2011 đó bạn, mình đang học nội dung kg metric, thấy nó hay hay mà ko giải được, hic.. Mình ko hiểu để chứng minh $d$ và $\delta$ sinh ra cùng một tô pô là cần phải chứng minh cái gì? Có phải ta cần chứng minh tập các tập mở con của X theo metric $d$ bằng với tập các tập mở con của X theo metric $\delta$ không vậy bạn?