Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tìm $M$ thỏa mãn: $$\sum {\left( {\frac{x}{{1999y + 2000z}}} \right) = \frac{1}{{1333}}} $$

HSG 11 Vĩnh Phúc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 21-03-2012 - 20:39

Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1048 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-09-2015 - 15:01

Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$

Đặt :

$1999y+2000z=a$ (1)

$1999z+2000x=b$ (2)

$1999x+2000y=c$ (3)

($a,b,c> 0$)

(1) $\Rightarrow z=\frac{a-1999y}{2000}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2000x+\frac{1999(a-1999y)}{2000}=b\\1999x+2000y=c \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=\frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{1999^3+2000^3}$

Hoàn toàn tương tự, ta có : $y=\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{1999^3+2000^3}$ ; $z=\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{1999^3+2000^3}$

$\Rightarrow \frac{x}{1999y+2000z}+\frac{y}{1999z+2000x}+\frac{z}{1999x+2000y}$

$=\frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( \frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{a}+\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{b}+\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{c} \right )$

$= \frac{1}{1999^3+2000^3}\left [ 2000^2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )+1999^2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \right )-1999.2000.3 \right ]$

$\geqslant \frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( 2000^2.3+1999^2.3-1999.2000.3 \right )=\frac{3}{1999+2000}=\frac{1}{1333}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c\Leftrightarrow x=y=z$

Vậy $M$ phải cách đều 3 đường thẳng $AB,BC,CA$.

Gọi $O$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

Kẻ $ON$ _|_ $AB$ ; $OP$ _|_ $BC$ ; $OQ$ _|_ $CA$ ($N\in AB$ ; $P\in BC$ ; $Q\in CA$)

$AB$ _|_ $ON$ và $AB$ _|_ $MO$ $\Rightarrow AB$ _|_ $MN$ $\Rightarrow MN=x$

Tương tự ta có $MP=y$ và $MQ=z$

$x=y=z\Leftrightarrow MN^2=MP^2=MQ^2\Leftrightarrow ON^2=OP^2=OQ^2\Leftrightarrow ON=OP=OQ\Leftrightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Mà $O$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABC)$ nên suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn ĐK đề bài là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $O$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 MZT

MZT

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 26-09-2015 - 21:57

Chứng minh $x=y=z$ có thể dùng bđt C-S đơn giản hơn.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh