Tìm $M$ thỏa mãn: $$\sum {\left( {\frac{x}{{1999y + 2000z}}} \right) = \frac{1}{{1333}}} $$
#1
Đã gửi 21-03-2012 - 20:39
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#2
Đã gửi 26-09-2015 - 15:01
Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$
Đặt :
$1999y+2000z=a$ (1)
$1999z+2000x=b$ (2)
$1999x+2000y=c$ (3)
($a,b,c> 0$)
(1) $\Rightarrow z=\frac{a-1999y}{2000}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2000x+\frac{1999(a-1999y)}{2000}=b\\1999x+2000y=c \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=\frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{1999^3+2000^3}$
Hoàn toàn tương tự, ta có : $y=\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{1999^3+2000^3}$ ; $z=\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{1999^3+2000^3}$
$\Rightarrow \frac{x}{1999y+2000z}+\frac{y}{1999z+2000x}+\frac{z}{1999x+2000y}$
$=\frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( \frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{a}+\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{b}+\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{c} \right )$
$= \frac{1}{1999^3+2000^3}\left [ 2000^2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )+1999^2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \right )-1999.2000.3 \right ]$
$\geqslant \frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( 2000^2.3+1999^2.3-1999.2000.3 \right )=\frac{3}{1999+2000}=\frac{1}{1333}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c\Leftrightarrow x=y=z$
Vậy $M$ phải cách đều 3 đường thẳng $AB,BC,CA$.
Gọi $O$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(ABC)$.
Kẻ $ON$ _|_ $AB$ ; $OP$ _|_ $BC$ ; $OQ$ _|_ $CA$ ($N\in AB$ ; $P\in BC$ ; $Q\in CA$)
$AB$ _|_ $ON$ và $AB$ _|_ $MO$ $\Rightarrow AB$ _|_ $MN$ $\Rightarrow MN=x$
Tương tự ta có $MP=y$ và $MQ=z$
$x=y=z\Leftrightarrow MN^2=MP^2=MQ^2\Leftrightarrow ON^2=OP^2=OQ^2\Leftrightarrow ON=OP=OQ\Leftrightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Mà $O$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABC)$ nên suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn ĐK đề bài là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $O$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
- Ispectorgadget, nhungvienkimcuong, MZT và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 26-09-2015 - 21:57
Chứng minh $x=y=z$ có thể dùng bđt C-S đơn giản hơn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh