Chủ đề này có 1 trả lời

[frazier]

$x^{2}+\left ( m^{2}-\frac{5}{3} \right )\sqrt{x^2+4}+2-m^{3}=0$
CMR pt luôn có nghiệm với $m \geq 0$.

[Crystal]

$x^{2}+\left ( m^{2}-\frac{5}{3} \right )\sqrt{x^2+4}+2-m^{3}=0$
CMR pt luôn có nghiệm với $m \geq 0$.

Phương trình đã cho tương đương với:
$${x^2} + 4 + \left( {{m^2} - \frac{5}{3}} \right)\sqrt {{x^2} + 4} - 2 - {m^3} = 0$$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 4} > 0$. Khi đó ta được:
$${t^2} + \left( {{m^2} - \frac{5}{3}} \right)t - 2 - {m^3} = 0$$
Lập $\Delta = {m^4} - \frac{{10}}{3}{m^2} + \frac{{25}}{9} + 8 + 4{m^3} = {m^4} + 4{m^3} - \frac{{10}}{3}{m^2} + \frac{{97}}{9} > 0$ và $ac = - \left( {2 + {m^3}} \right) < 0$ nên phương trình bậc hai theo $t$ luôn có nghiệm dương.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.